Sem o uso da regra de L’Hospital, avalie os limites abaixo:
lim x +infty x[ln (x+1)-ln (x)]

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+infty x l[ ln(x+1) - ln(x) r]
O conteúdo envolve propriedades de logaritmos e limites de tipo infinito multiplicado por diferença de funções que tende a zero. Vamos usar a identidade de diferença de logaritmos e depois converter para um limite fundamental sem recorrer à regra de L’Hospital.

Passo 2

Use a propriedade ln(a)-ln(b)=lnl(tfracabr) para reescrever
xl[ln(x+1)-ln(x)r] = xln!l(x+1xr) = xln!l(1+1xr)

Passo 3

Defina a variável u=tfrac1x. Quando xto+infty, temos uto0^+. A expressão fica
xln!l(1+1xr) =1uln(1+u) =ln(1+u)u

Passo 4

Para avaliar limuto0^+ ln(1+u)u sem série ou regra de L’Hospital, use desigualdades: para u>0 vale
11+u < ln(1+u)u < 1
A primeira desigualdade vem de
ln(1+u) = integral0^u 11+t , dt e
tfrac11+t > tfrac11+u; a segunda é o clássico ln(1+u) < u.

Passo 5

Como limuto0^+11+u=1 e limuto0^+1=1, pelo Teorema do Confronto (Squeeze) segue
limuto0^+ln(1+u)u=1
Logo o limite original vale 1.

Resposta

1

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