Sem o uso da regra de L’Hospital, avalie os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo envolve propriedades de logaritmos e limites de tipo infinito multiplicado por diferença de funções que tende a zero. Vamos usar a identidade de diferença de logaritmos e depois converter para um limite fundamental sem recorrer à regra de L’Hospital.
Passo 2
Use a propriedade
para reescrever
Passo 3
Defina a variável
. Quando
, temos
. A expressão fica
Passo 4
Para avaliar
sem série ou regra de L’Hospital, use desigualdades: para
vale
A primeira desigualdade vem de
e
; a segunda é o clássico
.
Passo 5
Como
e
, pelo Teorema do Confronto (Squeeze) segue
Logo o limite original vale
.