Questăo 4 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
[
\begin{cases}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, & x \in \mathbb{R} \\ u(x, 0)=f(x), & \frac{\partial u}{\partial t}=g(x), x \in \mathbb{R}\end{cases}
]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação da onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\quad x\in\mathbb{R},
com as condições iniciais
u(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x).
O método escolhido é aplicar a transformada de Fourier em x, que converte a PDE num ODE em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x por
\widehat{u}(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando essa definição à equação da onda, usamos que
\mathcal{F}\bigl(u_{xx}\bigr)=-k^{2}\,\widehat{u}(k,t),
de modo que a PDE vira o ODE
\frac{\partial^{2}\widehat{u}}{\partial t^{2}}(k,t) + a^{2}\,k^{2}\,\widehat{u}(k,t)=0.

Passo 3

O ODE em t é homogêneo de segunda ordem com solução geral
\widehat{u}(k,t)=A(k)\,\cos\bigl(a k t\bigr)+B(k)\,\sin\bigl(a k t\bigr).
Pelas condições iniciais temos
\widehat{u}(k,0)=A(k)=\widehat{f}(k),
e
\frac{\partial \widehat{u}}{\partial t}(k,0)=a k\,B(k)=\widehat{g}(k) \quad\Longrightarrow\quad B(k)=\frac{\widehat{g}(k)}{a k}.

Passo 4

Substituindo A(k) e B(k) obtém-se
\widehat{u}(k,t) =\widehat{f}(k)\,\cos\bigl(a k t\bigr) +\frac{\widehat{g}(k)}{a k}\,\sin\bigl(a k t\bigr).
Então invertemos a transformada de Fourier para recuperar u(x,t):
u(x,t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Bigl[\widehat{f}(k)\cos(a k t) +\frac{\widehat{g}(k)}{a k}\sin(a k t)\Bigr] \,e^{ikx}\,dk.

Passo 5

Reconhecendo as fórmulas de convolução e usando identidades de Fourier, chega-se à forma clássica de d’Alembert:
u(x,t) = \frac{f(x+at)+f(x-at)}{2} + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} g(\xi) \, d\xi.

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Bigl[\widehat{f}(k)\cos(a k t) +\frac{\widehat{g}(k)}{a k}\sin(a k t)\Bigr] \,e^{ikx}\,dk
ou, equivalentemente,
u(x,t) =\frac{f(x+at)+f(x-at)}{2} +\frac{1}{2a} \int_{\,x-at}^{\,x+at}g(\xi)\,d\xi.

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