Questăo 4 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
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Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação da onda
com as condições iniciais
O método escolhido é aplicar a transformada de Fourier em
, que converte a PDE num ODE em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
por
Aplicando essa definição à equação da onda, usamos que
de modo que a PDE vira o ODE
Passo 3
O ODE em
é homogêneo de segunda ordem com solução geral
Pelas condições iniciais temos
e
Passo 4
Substituindo
e
obtém-se
Então invertemos a transformada de Fourier para recuperar
:
Passo 5
Reconhecendo as fórmulas de convolução e usando identidades de Fourier, chega-se à forma clássica de d’Alembert:
Resposta
ou, equivalentemente,