Queriajo 2 (2 pontos) Usando o método de separacão de variaveis, resolva o seguinte problema
[
\left{
\right.
]
[
\left{
]
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor
com condições de contorno
,
e condição inicial
.
O método de separação de variáveis vai nos levar a achar autovalores e autovetores espaciais e depois combinar tudo numa série de Fourier.
O método de separação de variáveis vai nos levar a achar autovalores e autovetores espaciais e depois combinar tudo numa série de Fourier.
Passo 2
Assumimos solução no formato de produto
Substituindo na PDE e dividindo por
, obtemos
onde
é a constante de separação. Assim ficamos com dois ODEs:
Passo 3
As condições de contorno
e
implicam
Para que exista solução não trivial,
deve ser um autovalor do problema de Sturm–Liouville, dado por
e os autovetores correspondentes são
Integrando a equação temporal, obtemos
Passo 4
A solução geral, como soma das soluções separáveis para cada
, é
Passo 5
Para determinar os coeficientes
usamos a condição inicial
, ou seja
Como
é base ortogonal em
, o coeficiente vale