Queriajo 2 (2 pontos) Usando o método de separacão de variaveis, resolva o seguinte problema
[
\left{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, x \in \mathbb{R} \\ u(0, t)=0, u(L, t)=0 \\ u(x, 0)=f(x), 0<x<L \ldots \end{array}\right.
]

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x).
O método de separação de variáveis vai nos levar a achar autovalores e autovetores espaciais e depois combinar tudo numa série de Fourier.

Passo 2

Assumimos solução no formato de produto
u(x,t) = X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por X(x)T(t), obtemos
\frac{1}{\alpha^{2}}\frac{T'(t)}{T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é a constante de separação. Assim ficamos com dois ODEs:
X'' + \lambda X = 0, \qquad T' + \alpha^{2}\,\lambda\,T = 0.

Passo 3

As condições de contorno u(0,t)=0 e u(L,t)=0 implicam
X(0)=0, \quad X(L)=0.
Para que exista solução não trivial, \lambda deve ser um autovalor do problema de Sturm–Liouville, dado por
\lambda_{n} = \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots
e os autovetores correspondentes são
X_{n}(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).
Integrando a equação temporal, obtemos
T_{n}(t)=\exp\!\bigl(-\alpha^{2}\lambda_{n}\,t\bigr) =\exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 4

A solução geral, como soma das soluções separáveis para cada n, é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 5

Para determinar os coeficientes A_{n} usamos a condição inicial u(x,0)=f(x), ou seja
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).
Como \{\sin(\tfrac{n\pi}{L}x)\} é base ortogonal em [0,L], o coeficiente vale
A_{n} =\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(\xi)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\,\xi\bigr)\,d\xi\Biggr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr) \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr). }

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