Questaio 3 ( 2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
[
\left{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, x \in \mathbb{R} \\
u(x, 0)=e^{-x^{2} / 4}, x \in \mathbb{R}
\end{array}\right.
]
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação do calor
Vamos usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t, resolver essa ODE e em seguida inverter a transformada usando a fórmula da integral Gaussiana.
Aplicando essa transformada em x a \partial_t u=\partial_x^2u, e usando as propriedades \mathcal{F}(\partial_tu)=\partial_t\hat u e \mathcal{F}(\partial_x^2u)=-(\xi^2)\hat u, obtemos a ODE
\partial_t\hat u(\xi,t)=-\xi^2\,\hat u(\xi,t).
Passo 3
A condição inicial u(x,0)=e^{-x^2/4} tem transformada