Questaio 3 ( 2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
[
\left{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, x \in \mathbb{R} \\ u(x, 0)=e^{-x^{2} / 4}, x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
]

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação do calor
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & x\in\mathbb{R},\;t>0,\\\ u(x,0)=e^{-x^2/4}, & x\in\mathbb{R}. \end{cases}
Vamos usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t, resolver essa ODE e em seguida inverter a transformada usando a fórmula da integral Gaussiana.

Passo 2

Definimos
\hat u(\xi,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-i\xi x}\,dx.
Aplicando essa transformada em x a \partial_t u=\partial_x^2u, e usando as propriedades
\mathcal{F}(\partial_tu)=\partial_t\hat u e
\mathcal{F}(\partial_x^2u)=-(\xi^2)\hat u, obtemos a ODE
\partial_t\hat u(\xi,t)=-\xi^2\,\hat u(\xi,t).

Passo 3

A condição inicial u(x,0)=e^{-x^2/4} tem transformada
\hat u(\xi,0) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/4}\,e^{-i\xi x}\,dx.
Como
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^2}e^{-i b x}\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-b^2/(4a)},
com a=\tfrac14 e b=\xi, resulta
\hat u(\xi,0)=\sqrt{4\pi}\,e^{-\xi^2}.

Passo 4

Resolvendo a ODE \partial_t\hat u=-\xi^2\hat u com \hat u(\xi,0)=\sqrt{4\pi}e^{-\xi^2} obtemos
\hat u(\xi,t) =\sqrt{4\pi}\,e^{-\xi^2}\,e^{-\xi^2 t} =\sqrt{4\pi}\,e^{-(1+t)\,\xi^2}.

Passo 5

Invertemos a transformada pelo inverso
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat u(\xi,t)\,e^{i\xi x}\,d\xi =\frac{\sqrt{4\pi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(1+t)\xi^2+i\xi x}\,d\xi.
Usamos a fórmula
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\xi^2+i\beta\xi}\,d\xi =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;e^{-\beta^2/(4\alpha)},
com \alpha=1+t e \beta=x.

Passo 6

Aplicando a integral Gaussiana e simplificando coeficientes, chega-se a
u(x,t) =\frac{\sqrt{4\pi}}{2\pi}\,\sqrt{\frac{\pi}{1+t}}\, \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{4(1+t)}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{1+t}}\, \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{4(1+t)}\Bigr).

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+t}}\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{4(1+t)}\Bigr).

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