Sabe-se que a curva gamma(t)=(t^2+1, t^3+t^2+t) é uma curva de nível da função diferenciável f: R^2 R, com f(gamma(t))=2, forall t in R. Admita que existem 2 pontos (x0, y0) in Im gamma com a propriedade de que o plano tangente ao gráfico de f em (x0, y0, 2) é paralelo ao plano x+y-z=0. Encontre esses 2 pontos.

Passo 1

O enunciado diz que a curva
gamma(t)=l(t^2+1,;t^3+t^2+tr)
é nível de uma função diferenciável f em R^2, com f(gamma(t))=2. Queremos os pontos l(x0,y0r)inIm,gamma tais que o plano tangente ao gráfico de f em l(x0,y0,2r) seja paralelo ao plano x+y-z=0. Para isso vamos usar a relação entre o gradiente de f, a velocidade gamma'(t) e a normal do plano tangente ao gráfico.

Passo 2

O plano tangente ao gráfico de f em l(x0,y0,f(x0,y0)r) tem vetor normal
N = l(-fx(x0,y0),,-fy(x0,y0),,1r)
O plano x+y-z=0 tem vetor normal n=(1,1,-1). Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais, ou seja
(-fx,,-fy,1) ;=;lambda,(1,1,-1)
Comparando componentes obtemos lambda=-1 e portanto
fx(x0,y0)=1, fy(x0,y0)=1

Passo 3

Como f(gamma(t))=2 é constante, sua derivada em t satisfaz
ddtf(gamma(t)) = fx(gamma(t)),x'(t)+fy(gamma(t)),y'(t) = 0
Nos pontos procurados fx=fy=1, logo a condição vira
x'(t)+y'(t)=0

Passo 4

Calculamos as componentes da velocidade:
x'(t)=2t, y'(t)=3t^2+2t+1
A condição x'(t)+y'(t)=0
2t + (3t^2+2t+1)=0 ;Longrightarrow; 3t^2+4t+1=0 ;Longrightarrow; t=-1,;-tfrac13

Passo 5

Substituindo na curva:
  • Para t=-1: x=(-1)^2+1=2, y=(-1)^3+(-1)^2+(-1)=-1
  • Para t=-tfrac13: x=l(-tfrac13r)^2+1=tfrac109, y=l(-tfrac13r)^3+l(-tfrac13r)^2+(-tfrac13) =-tfrac727

Resposta

Os dois pontos são l(2,-1r) e l(tfrac109,-tfrac727r).

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