Sabe-se que a curva
é uma curva de nível da função diferenciável
, com
. Admita que existem 2 pontos
com a propriedade de que o plano tangente ao gráfico de
em
é paralelo ao plano
. Encontre esses 2 pontos.
Passo 1
O enunciado diz que a curva
é nível de uma função diferenciável
em
, com
. Queremos os pontos
tais que o plano tangente ao gráfico de
em
seja paralelo ao plano
. Para isso vamos usar a relação entre o gradiente de
, a velocidade
e a normal do plano tangente ao gráfico.
Passo 2
O plano tangente ao gráfico de
em
tem vetor normal
O plano
tem vetor normal
. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais, ou seja
Comparando componentes obtemos
e portanto
Passo 3
Como
é constante, sua derivada em
satisfaz
Nos pontos procurados
, logo a condição vira
Passo 4
Calculamos as componentes da velocidade:
A condição
dá
Passo 5
Substituindo na curva:
- Para
: - Para
:
Resposta
Os dois pontos são
e
.