Considere a equação diferencial \frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}+\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante \mu(x)(o u \mu(y)) para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função \mu(x)(o u \mu(y)) encontrada no item (b) é realmente um fator integrante para a equação dada.
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}+\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right) y^{\prime}=0
e pede:
  • (a) Mostrar que esta EDO não é exata.
  • (b) Encontrar um fator integrante dependente só de x ou só de y, \mu(x) ou \mu(y), que transforme a EDO numa exata.
  • (c) Verificar que o \mu encontrado é realmente fator integrante.
  • (d) Resolver a EDO exata obtida multiplicando pela \mu.
  • (e) Encontrar a solução que satisfaz y(1)=1.
Para organizar o trabalho, escrevemos a EDO na forma padrão M(x,y)+N(x,y)\,y'=0. Assim:
M(x,y)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x},\qquad N(x,y)=e^{y}+\frac{1}{x y}.

Passo 2

Mostrar que a equação não é exata.
Regra: uma EDO M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 é exata se e somente se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x em uma região apropriada.
Calculemos as derivadas parciais (tudo em TeX):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}\right)=\frac{e^{y}}{x},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right)=0-\frac{1}{x^{2}y}=-\frac{1}{x^{2}y}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{e^{y}}{x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{x^{2}y},
essas duas derivadas não são iguais, logo a EDO dada NÃO é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante \mu(x) ou \mu(y).
Método (explicação didática curta): se existe \mu=\mu(x) tal que \mu M+\mu N y'=0 seja exata, então precisa ocorrer
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Se \mu depende só de x, isto leva à condição equivalente
\frac{1}{N}\!\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{\mu'(x)}{\mu(x)},
que deve depender apenas de x. De modo análogo, se \mu=\mu(y) então
\frac{1}{M}\!\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}
deve depender só de y.
Calculemos a expressão que nos diz se existe \mu(x):
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{e^{y}}{x}-\left(-\frac{1}{x^{2}y}\right)=\frac{e^{y}}{x}+\frac{1}{x^{2}y}.
Dividindo por N:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{\dfrac{e^{y}}{x}+\dfrac{1}{x^{2}y}}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}}.
Fatorando 1/x no numerador observa-se:
\frac{\dfrac{e^{y}}{x}+\dfrac{1}{x^{2}y}}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}} =\frac{\dfrac{1}{x}\!\left(e^{y}+\dfrac{1}{x y}\right)}{e^{y}+\dfrac{1}{x y}} =\frac{1}{x}.
Logo a expressão vale exatamente \dfrac{1}{x}, que depende só de x. Portanto existe um fator integrante que depende apenas de x. Ele satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{x}.
Integrando:
\ln \mu(x)=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x + C \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=C x.
Como constantes multiplicativas não alteram a exatidão essencial, podemos escolher \mu(x)=x.
Assim o fator integrante conveniente é \mu(x)=x.

Passo 4

Verificar que \mu(x)=x é realmente um fator integrante (verificação direta).
Multiplicamos a EDO original por x. Os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=xM=\;x\!\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{e^{y}}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}+e^{y},
\tilde N(x,y)=xN=\;x\!\left(e^{y}+\frac{1}{x y}\right)=x e^{y}+\frac{1}{y}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x^{2}}+e^{y}\right)=e^{y},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x e^{y}+\frac{1}{y}\right)=e^{y}+0=e^{y}.
Como \partial \tilde M/\partial y=\partial \tilde N/\partial x, a equação multiplicada por x é exata. Portanto \mu(x)=x é de fato um fator integrante.

Passo 5

Resolver a EDO exata obtida (explicação didática e passo a passo).
Sabendo que a EDO exata é
\tilde M(x,y)+\tilde N(x,y)\,y'=0\quad\text{com}\quad \tilde M=\frac{1}{x^{2}}+e^{y},\\ \tilde N=x e^{y}+\frac{1}{y},
procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N.
Integramos \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(\frac{1}{x^{2}}+e^{y}\right)\,dx =\int \frac{1}{x^{2}}\,dx+\int e^{y}\,dx.
Calcule as integrais (explicando como fazer sem calculadora): \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\dfrac{1}{x}. Como e^{y} é constante em relação a x, \int e^{y}\,dx = x e^{y}. Assim
\Phi(x,y)=-\frac{1}{x}+x e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração relativa a x).
Agora imponha \partial \Phi/\partial y=\tilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x e^{y}+h'(y)\stackrel{!}{=}x e^{y}+\frac{1}{y}.
Daí h'(y)=\dfrac{1}{y}. Integrando em y:
h(y)=\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C_1.
Podemos incorporar C_1 depois como constante geral C. Portanto uma função potencial é
\Phi(x,y)=-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|.
A equação implícita geral (solução implícita da EDO) é
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Determinar a solução que satisfaz a condição inicial y(1)=1.
Substitua x=1 e y=1 em \Phi(x,y)=C:
-\frac{1}{1}+1\cdot e^{1}+\ln|1|=C \quad\Rightarrow\quad -1+e+0=C.
Logo C=e-1. Assim a solução particular (implícita) que passa por (1,1) é
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=e-1.
Como a condição dada tem y(1)=1>0, podemos remover o valor absoluto e escrever \ln y (para a vizinhança da solução considerada).

Resposta

(a) A equação não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{e^{y}}{x}\neq -\dfrac{1}{x^{2}y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}.
(b) Um fator integrante é \mu(x)=x.
(c) Verificação: multiplicando por x obtém-se \tilde M=\dfrac{1}{x^{2}}+e^{y} e \tilde N=x e^{y}+\dfrac{1}{y} com \partial\tilde M/\partial y=\partial\tilde N/\partial x=e^{y}, logo é exata.
(d) Solução geral (implícita) da EDO multiplicada pelo fator integrante:
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln|y|=C.
(e) Solução que satisfaz y(1)=1:
-\frac{1}{x}+x e^{y}+\ln y=e-1.

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