Considere a equação diferencial
.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante
para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função
encontrada no item (b) é realmente um fator integrante para a equação dada.
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz
.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante
c) Verifique que a função
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- (a) Mostrar que esta EDO não é exata.
- (b) Encontrar um fator integrante dependente só de
ou só de , ou , que transforme a EDO numa exata. - (c) Verificar que o
encontrado é realmente fator integrante. - (d) Resolver a EDO exata obtida multiplicando pela
. - (e) Encontrar a solução que satisfaz
.
Para organizar o trabalho, escrevemos a EDO na forma padrão
. Assim:
Passo 2
Mostrar que a equação não é exata.
Regra: uma EDO é exata se e somente se
em uma região apropriada.
Regra: uma EDO
Calculemos as derivadas parciais (tudo em TeX):
Como
essas duas derivadas não são iguais, logo a EDO dada NÃO é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante
ou
.
Método (explicação didática curta): se existe tal que
seja exata, então precisa ocorrer
Método (explicação didática curta): se existe
Se
depende só de
, isto leva à condição equivalente
que deve depender apenas de
. De modo análogo, se
então
deve depender só de
.
Calculemos a expressão que nos diz se existe
:
Dividindo por
:
Fatorando
no numerador observa-se:
Logo a expressão vale exatamente
, que depende só de
. Portanto existe um fator integrante que depende apenas de
. Ele satisfaz
Integrando:
Como constantes multiplicativas não alteram a exatidão essencial, podemos escolher
.
Assim o fator integrante conveniente é
.
Passo 4
Verificar que
é realmente um fator integrante (verificação direta).
Multiplicamos a EDO original por . Os novos coeficientes são
Multiplicamos a EDO original por
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é de fato um fator integrante.
Passo 5
Resolver a EDO exata obtida (explicação didática e passo a passo).
Sabendo que a EDO exata é
Sabendo que a EDO exata é
procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Calcule as integrais (explicando como fazer sem calculadora):
. Como
é constante em relação a
,
. Assim
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração relativa a
).
Agora imponha
:
Daí
. Integrando em
:
Podemos incorporar
depois como constante geral
. Portanto uma função potencial é
A equação implícita geral (solução implícita da EDO) é
onde
é constante de integração.
Passo 6
Determinar a solução que satisfaz a condição inicial
.
Substitua e
em
:
Substitua
Logo
. Assim a solução particular (implícita) que passa por
é
Como a condição dada tem
, podemos remover o valor absoluto e escrever
(para a vizinhança da solução considerada).
Resposta
(a) A equação não é exata, pois
.
(b) Um fator integrante é .
(c) Verificação: multiplicando por obtém-se
e
com
, logo é exata.
(d) Solução geral (implícita) da EDO multiplicada pelo fator integrante:
(b) Um fator integrante é
(c) Verificação: multiplicando por
(d) Solução geral (implícita) da EDO multiplicada pelo fator integrante:
(e) Solução que satisfaz
: