Questão 2. (2 pontos) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x} é uma solução da equação diferencial
x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+(1-x) y=0, x>0
determine sua solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem (homogênea)
x y^{\prime\prime}-y^{\prime}+(1-x)y=0,\qquad x>0,
e informa que y_{1}(x)=e^{x} é uma solução conhecida. O que se pede é a solução geral da equação, ou seja, encontrar duas soluções linearmente independentes e escrever a combinação linear geral com constantes arbitrárias.
Informações relevantes:
  • Equação dada: \;x y^{\prime\prime}-y^{\prime}+(1-x)y=0.
  • Uma solução conhecida: \;y_{1}(x)=e^{x}.
  • Queremos a solução geral y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x) com y_{2} linearmente independente de y_{1}.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0 dividindo por x (como x>0, isso é permitido). Assim:
y^{\prime\prime}-\frac{1}{x}y^{\prime}+\left(\frac{1}{x}-1\right)y=0.
Aqui identificamos
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x}-1.
Explico por que fazemos isso: a fórmula padrão para reduzir ordem e obter a segunda solução exige que a equação esteja nessa forma com os coeficientes P e Q.

Passo 3

Método para obter a segunda solução quando uma solução y_{1} é conhecida (redução de ordem):
  • Uma fórmula útil é
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
onde P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão. Essa fórmula vem do método de redução de ordem (procura-se y=v(x)y_{1}(x) e reduz-se a uma primeira ordem para v'); aqui vou usar a forma já conhecida porque é direta e confiável.

Passo 4

Calculemos o fator e^{-\int P(x)\,dx}. Como P(x)=-\dfrac{1}{x}, temos
-\int P(x)\,dx=-\int\left(-\frac{1}{x}\right)dx=\int\frac{1}{x}dx=\ln x,
portanto
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{\ln x}=x.

Passo 5

Aplicando a fórmula para y_{2} com y_{1}(x)=e^{x} e o fator calculado:
y_{2}=e^{x}\int \frac{x}{(e^{x})^{2}}\,dx = e^{x}\int x e^{-2x}\,dx.
Assim precisamos calcular a integral \int x e^{-2x}\,dx.

Passo 6

Calculando \int x e^{-2x}\,dx por partes. Tome
u=x e dv=e^{-2x}dx. Então du=dx e v=\int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Pela fórmula de integração por partes:
\int x e^{-2x}dx = u v - \int v\,du = x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)-\int\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)dx.
Continuando,
\int x e^{-2x}dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x}+\tfrac{1}{2}\int e^{-2x}dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x}+\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)+C.
Portanto
\int x e^{-2x}dx = -\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\right)e^{-2x}+C.

Passo 7

Voltando para y_{2},
y_{2}=e^{x}\left[-\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\right)e^{-2x}+C\right] = -\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\right)e^{-x} + C e^{x}.
O termo C e^{x} é proporcional a y_{1} e não gera uma nova solução independentemente; podemos desprezá-lo ao escolher uma segunda solução linearmente independente. Multiplicando por uma constante conveniente (isso não muda a independência), escolhemos como segunda solução simples
y_{2}(x)=(2x+1)e^{-x}.
(Explicação rápida: -\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\right)e^{-x} = -\tfrac{1}{4}(2x+1)e^{-x}, e multiplicar por -4 (2x+1)e^{-x}.)

Passo 8

Verificação de independência linear (opcional, mas instrutivo): calcule o Wronskiano W(y_{1},y_{2}).
  • y_{1}=e^{x}, y_{1}'=e^{x}.
  • y_{2}=(2x+1)e^{-x}. Derivando,
y_{2}'=2e^{-x}-(2x+1)e^{-x}=(1-2x)e^{-x}.
O Wronskiano é
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} = e^{x}\cdot(1-2x)e^{-x}-e^{x}\cdot(2x+1)e^{-x} =(1-2x)-(2x+1)=-4x.
Como x>0, temos W\neq 0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes na região considerada.

Passo 9

Como temos duas soluções linearmente independentes, a solução geral da equação é a combinação linear:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}(2x+1)e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}(2x+1)e^{-x}

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