Questão 2. (2 pontos) Sabendo que
é uma solução da equação diferencial
determine sua solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem (homogênea)
e informa que
é uma solução conhecida. O que se pede é a solução geral da equação, ou seja, encontrar duas soluções linearmente independentes e escrever a combinação linear geral com constantes arbitrárias.
Informações relevantes:
- Equação dada:
. - Uma solução conhecida:
. - Queremos a solução geral
com linearmente independente de .
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
(como
, isso é permitido). Assim:
Aqui identificamos
Explico por que fazemos isso: a fórmula padrão para reduzir ordem e obter a segunda solução exige que a equação esteja nessa forma com os coeficientes
e
.
Passo 3
Método para obter a segunda solução quando uma solução
é conhecida (redução de ordem):
- Uma fórmula útil é
onde
é o coeficiente de
na forma padrão. Essa fórmula vem do método de redução de ordem (procura-se
e reduz-se a uma primeira ordem para
); aqui vou usar a forma já conhecida porque é direta e confiável.
Passo 4
Calculemos o fator
. Como
, temos
portanto
Passo 5
Aplicando a fórmula para
com
e o fator calculado:
Assim precisamos calcular a integral
.
Passo 6
Calculando
por partes. Tome
e
. Então
e
.
Pela fórmula de integração por partes:
Pela fórmula de integração por partes:
Continuando,
Portanto
Passo 7
Voltando para
,
O termo
é proporcional a
e não gera uma nova solução independentemente; podemos desprezá-lo ao escolher uma segunda solução linearmente independente. Multiplicando por uma constante conveniente (isso não muda a independência), escolhemos como segunda solução simples
(Explicação rápida:
, e multiplicar por
dá
.)
Passo 8
Verificação de independência linear (opcional, mas instrutivo): calcule o Wronskiano
.
-
, . -
. Derivando,
O Wronskiano é
Como
, temos
, logo
e
são linearmente independentes na região considerada.
Passo 9
Como temos duas soluções linearmente independentes, a solução geral da equação é a combinação linear:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.