Questão 3. (2,5 pontos) Um cabo coaxial dé comprimento
é formado por um cilindro sólido de raio
e uma casca cilíndrica de raio
de espessura desprezivel. O cilindro sólido possui carga
e a casca cilíndrica possui carga-
. Ambas as cargas possuem distribuição superficial uniforme. O espaço entre os eletrodos está preenchido com dois dielétricos de constantes
e
. O dielétrico
é uma casca cilindrica com raio interno
e raio externo
, e.o dielétrico
é uma casca cilíndrica com raio interno
e raio externo
. Determine a capacitância por unidade de comprimento deste dispositivo.
Passo 1
O enunciado descreve um cabo coaxial de comprimento
com fio interno de raio
carregado com
e casca externa de raio
com carga
. O espaço entre
e
é preenchido por dois dielétricos: de constante
entre
e de constante
entre
. Queremos a capacitância por unidade de comprimento
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico em cada região e depois calcular a diferença de potencial, usando a definição
.
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss a um cilindro coaxial de raio
e comprimento
, a carga por comprimento é
Em cada região dielétrica o fluxo
dá
onde
para
e
para
.
Passo 3
A diferença de potencial entre o fio interno (
) e a casca externa (
) é
Passo 4
Cada integral é do tipo
, logo
Passo 5
Pela definição de capacitância
e dividindo por
, obtemos