Questão 3. (2,5 pontos) Um cabo coaxial dé comprimento L é formado por um cilindro sólido de raio a e uma casca cilíndrica de raio c de espessura desprezivel. O cilindro sólido possui carga +q e a casca cilíndrica possui carga- q. Ambas as cargas possuem distribuição superficial uniforme. O espaço entre os eletrodos está preenchido com dois dielétricos de constantes \kappa_{1} e \kappa_{2}. O dielétrico \kappa_{1} é uma casca cilindrica com raio interno a e raio externo b<c, e.o dielétrico \kappa_{2} é uma casca cilíndrica com raio interno b e raio externo c. Determine a capacitância por unidade de comprimento deste dispositivo.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial de comprimento L com fio interno de raio a carregado com +q e casca externa de raio c com carga -q. O espaço entre r=a e r=c é preenchido por dois dielétricos: de constante \kappa_{1} entre a\le r\le b e de constante \kappa_{2} entre b\le r\le c. Queremos a capacitância por unidade de comprimento C/L. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico em cada região e depois calcular a diferença de potencial, usando a definição C=q/\Delta V.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss a um cilindro coaxial de raio r e comprimento L, a carga por comprimento é
\lambda = \frac{q}{L}\,.
Em cada região dielétrica o fluxo \Phi=\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}
D(r)\,(2\pi rL)=\lambda \quad\implies\quad E(r)=\frac{D(r)}{\varepsilon_0\kappa_i} =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\kappa_i\,r}\,,
onde \kappa_i=\kappa_1 para a<r<b e \kappa_i=\kappa_2 para b<r<c.

Passo 3

A diferença de potencial entre o fio interno ( r=a) e a casca externa ( r=c) é
\Delta V = V(a)-V\text{(c)} =\int_{c}^{a}E(r)\,dr =\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\kappa_1\,r}\,dr +\int_{b}^{c}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\kappa_2\,r}\,dr.

Passo 4

Cada integral é do tipo \displaystyle\int \frac{dr}{r}=\ln(r), logo
\Delta V =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Bigl[ \frac{1}{\kappa_1}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) +\frac{1}{\kappa_2}\ln\!\bigl(\tfrac{c}{b}\bigr) \Bigr].

Passo 5

Pela definição de capacitância C=q/\Delta V e dividindo por L, obtemos
\frac{C}{L} =\frac{\lambda}{\Delta V} =\frac{2\pi\varepsilon_0} {\displaystyle \frac{1}{\kappa_1}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) +\frac{1}{\kappa_2}\ln\!\bigl(\tfrac{c}{b}\bigr) }\,.

Resposta

\frac{C}{L} =\frac{2\pi\varepsilon_0} {\displaystyle \frac{1}{\kappa_1}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) +\frac{1}{\kappa_2}\ln\!\bigl(\tfrac{c}{b}\bigr) }\,.

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