Questão 3 - (1,5 pontos)
Em uma sala de 50 estudantes, 30 gostam de Estatística, 25 gostam de Programação e 10 gostam de ambas as disciplinas. Escolhendo um estudante ao acaso, determine:
a) A probabilidade de ele gostar de Estatística dado que gosta de Programação.
b) A probabilidade de ele gostar de Programação dado que gosta de Estatística.
c) A probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas.

Passo 1

O enunciado dá uma sala com 50 estudantes e fornece quantos gostam de cada disciplina. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Estatística dado que ele gosta de Programação?
b) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Programação dado que ele gosta de Estatística?
c) Qual a probabilidade de um estudante gostar de pelo menos uma das disciplinas?
Informações relevantes (retirei diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Total de estudantes: }50,\\\ &\text{Número que gostam de Estatística: }30,\\\ &\text{Número que gostam de Programação: }25,\\\ &\text{Número que gostam de ambas: }10. \end{aligned}úíúçãú

Passo 2

Vamos definir eventos e traduzir as contagens em probabilidades (isso ajuda a raciocinar passo a passo):
\begin{aligned} &E=\text{evento "gosta de Estatística"},\\\ &P=\text{evento "gosta de Programação"}. \end{aligned}íçã
Os tamanhos dos conjuntos (peguei os números do enunciado) são:
n(E)=30,\quad n(P)=25,\quad n(E\cap P)=10,\quad N=50.
Quando usamos contagens, a probabilidade de um evento A é \displaystyle P(A)=\dfrac{n(A)}{N}. Vou usar essa ideia em seguida.

Passo 3

Primeira pergunta (a): “probabilidade de gostar de Estatística dado que gosta de Programação”, isto é P(E\mid P).
A fórmula de probabilidade condicional é
P(E\mid P)=\frac{P(E\cap P)}{P(P)}.
Explicando essa fórmula de forma concreta: entre todos que gostam de Programação (o grupo condicional), queremos a fração que também gosta de Estatística. Em contagens isso vira:
P(E\mid P)=\frac{n(E\cap P)}{n(P)}.
Substituindo os números que temos (peguei n(E\cap P)=10 e n(P)=25 do enunciado):
P(E\mid P)=\frac{10}{25}.
Agora simplifico a fração passo a passo:
\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.
Convertendo para decimal e porcentagem (útil para interpretar):
\frac{2}{5}=0,4=40\%.
Então a resposta a) é \dfrac{2}{5} (ou 0,4 ou 40\%).

Passo 4

Segunda pergunta (b): “probabilidade de gostar de Programação dado que gosta de Estatística”, isto é P(P\mid E).
Aplicamos a mesma ideia da condicional:
P(P\mid E)=\frac{P(E\cap P)}{P(E)}=\frac{n(E\cap P)}{n(E)}.
Substituindo os números (peguei n(E\cap P)=10 e n(E)=30 do enunciado):
P(P\mid E)=\frac{10}{30}.
Simplificando:
\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.
Convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{1}{3}\approx 0,333\ldots \approx 33,33\%.
Portanto a resposta b) é \dfrac{1}{3} (ou aproximadamente 0,333\ldots ou 33,33\%).

Passo 5

Terceira pergunta (c): “probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas” significa gostar de Estatística ou Programação (ou ambos). Em notação é P(E\cup P).
A fórmula para a união de dois eventos é
P(E\cup P)=P(E)+P(P)-P(E\cap P).
Explicando por que: somamos quem gosta de cada um, mas quem gosta de ambos foi contado duas vezes, então subtraímos uma vez. Em termos de contagens:
n(E\cup P)=n(E)+n(P)-n(E\cap P).
Substituindo os números (os valores foram dados no enunciado):
n(E\cup P)=30+25-10=45.
Agora a probabilidade é
P(E\cup P)=\frac{n(E\cup P)}{N}=\frac{45}{50}.
Simplificando:
\frac{45}{50}=\frac{9}{10}=0,9=90\%.
Então a resposta c) é \dfrac{9}{10} (ou 0,9 ou 90\%).

Passo 6

Recapitulando de um jeito bem amigo e prático: para condicional você olha “dentro do grupo dado” e pega a fração que satisfaz a segunda propriedade; para “pelo menos uma” você soma e tira a interseção uma vez. Esses são os dois truques principais aqui — se você decorou isso, resolve rápido na prova.

Resposta

a) \dfrac{2}{5}=0,4=40\%
b) \dfrac{1}{3}\approx0,333\ldots\approx33,33\%
c) \dfrac{9}{10}=0,9=90\%

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