Questão 3 - (1,5 pontos)
Em uma sala de 50 estudantes, 30 gostam de Estatística, 25 gostam de Programação e 10 gostam de ambas as disciplinas. Escolhendo um estudante ao acaso, determine:
a) A probabilidade de ele gostar de Estatística dado que gosta de Programação.
b) A probabilidade de ele gostar de Programação dado que gosta de Estatística.
c) A probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas.
a) A probabilidade de ele gostar de Estatística dado que gosta de Programação.
b) A probabilidade de ele gostar de Programação dado que gosta de Estatística.
c) A probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas.
Passo 1
O enunciado dá uma sala com
estudantes e fornece quantos gostam de cada disciplina. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Estatística dado que ele gosta de Programação?
b) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Programação dado que ele gosta de Estatística?
c) Qual a probabilidade de um estudante gostar de pelo menos uma das disciplinas?
a) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Estatística dado que ele gosta de Programação?
b) Qual a probabilidade de um estudante gostar de Programação dado que ele gosta de Estatística?
c) Qual a probabilidade de um estudante gostar de pelo menos uma das disciplinas?
Informações relevantes (retirei diretamente do enunciado):
Passo 2
Vamos definir eventos e traduzir as contagens em probabilidades (isso ajuda a raciocinar passo a passo):
Os tamanhos dos conjuntos (peguei os números do enunciado) são:
Quando usamos contagens, a probabilidade de um evento
é
. Vou usar essa ideia em seguida.
Passo 3
Primeira pergunta (a): “probabilidade de gostar de Estatística dado que gosta de Programação”, isto é
.
A fórmula de probabilidade condicional é
Explicando essa fórmula de forma concreta: entre todos que gostam de Programação (o grupo condicional), queremos a fração que também gosta de Estatística. Em contagens isso vira:
Substituindo os números que temos (peguei
e
do enunciado):
Agora simplifico a fração passo a passo:
Convertendo para decimal e porcentagem (útil para interpretar):
Então a resposta a) é
(ou
ou
).
Passo 4
Segunda pergunta (b): “probabilidade de gostar de Programação dado que gosta de Estatística”, isto é
.
Aplicamos a mesma ideia da condicional:
Substituindo os números (peguei
e
do enunciado):
Simplificando:
Convertendo para decimal e porcentagem:
Portanto a resposta b) é
(ou aproximadamente
ou
).
Passo 5
Terceira pergunta (c): “probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas” significa gostar de Estatística ou Programação (ou ambos). Em notação é
.
A fórmula para a união de dois eventos é
Explicando por que: somamos quem gosta de cada um, mas quem gosta de ambos foi contado duas vezes, então subtraímos uma vez. Em termos de contagens:
Substituindo os números (os valores foram dados no enunciado):
Agora a probabilidade é
Simplificando:
Então a resposta c) é
(ou
ou
).
Passo 6
Recapitulando de um jeito bem amigo e prático: para condicional você olha “dentro do grupo dado” e pega a fração que satisfaz a segunda propriedade; para “pelo menos uma” você soma e tira a interseção uma vez. Esses são os dois truques principais aqui — se você decorou isso, resolve rápido na prova.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)