Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
X 1 2 3 4 5
P(X=x) 0.1 0.3 0.3 ? 0.2
Calcule a probabilidade
P(X<4 \mid X \geq 3)= \_\_\_\_ 0,03

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com a seguinte distribuição (retirei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline P(X=x) & 0,1 & 0,3 & 0,3 & ? & 0,2 \end{array}
A pergunta é: calcular a probabilidade condicional
P(X<4 \mid X\ge 3).
Ou seja, dado que X é pelo menos 3, qual a probabilidade de que X seja menor que 4?

Passo 2

Primeiro precisamos saber o valor de P(X=4) (o “?” na tabela). Lembra que para uma distribuição de probabilidade discreta a soma de todas as probabilidades deve ser 1. Isso vem da ideia básica: alguma das possibilidades deve ocorrer com probabilidade total 1. Em símbolos:
\sum_{x} P(X=x)=1.
Aplicando aos valores da tabela:
0,1 + 0,3 + 0,3 + ? + 0,2 = 1.

Passo 3

Agora calculamos o “?” isolando-o:
? = 1 - (0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,2).
Somando os números dentro dos parênteses:
0,1 + 0,3 = 0,4,\quad 0,4 + 0,3 = 0,7,\quad 0,7 + 0,2 = 0,9.
Portanto
? = 1 - 0,9 = 0,1.
Logo P(X=4)=0,1. (Ótimo — agora a tabela está completa.)

Passo 4

Agora usemos a definição de probabilidade condicional. Para dois eventos A e B,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Em palavras: a probabilidade de A dado B é a probabilidade de ambos ocorrerem dividida pela probabilidade de B.

Passo 5

Identifiquemos os eventos do nosso problema:
A=\{X<4\}=\{1,2,3\},\qquad B=\{X\ge3\}=\{3,4,5\}.
O encontro dos dois eventos é
A\cap B=\{3\},
porque o único valor que é ao mesmo tempo menor que 4 e maior ou igual a 3 é 3.

Passo 6

Agora calculamos numerador e denominador:
Numerador P(A\cap B)=P(X=3)=0,3 (venho direto da tabela).
Denominador
P(B)=P(X\ge3)=P(3)+P(4)+P(5)=0,3+0,1+0,2.
Somando:
0,3+0,1=0,4,\quad 0,4+0,2=0,6,
logo P(B)=0,6.

Passo 7

Aplicando a fórmula da condicional:
P(X<4\mid X\ge3)=\frac{P(X=3)}{P(X\ge3)}=\frac{0,3}{0,6}.
Simplificando a fração \frac{0,3}{0,6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, que em decimal é 0,5.

Resposta

0,5

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