Questão 2. Dois vértices de uma elipse são os pontos
e
e seus focos são os pontos
e
. Determine, a distância focal, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a excentricidade da elipse, a equação reduzida e apresente um esboço dessa elipse.
Passo 1
O enunciado dá uma elipse com vértices
e
e focos
,
. O conteúdo é geometria analítica de elipse vertical. Vamos achar o centro, os parâmetros
,
,
, a excentricidade
, montar a equação reduzida e por fim esboçar.
Passo 2
O centro
é o ponto médio de
. Como
a elipse está centrada na origem.
Passo 3
O semi-eixo maior
é a distância de
a qualquer vértice. Por exemplo,
Passo 4
O semi-distância focal
é a distância de
a qualquer foco. Por exemplo,
Logo a distância focal total é
.
Passo 5
Para elipse vale
. Então
logo
. O comprimento do eixo menor é
.
Passo 6
A excentricidade é
Passo 7
Como o eixo maior é vertical, a equação reduzida é
Passo 8
Esboço da elipse centrada em
, vértices em
, co-vértices em
e focos em
:
↑ y
(0,6) *
* *
* *
(-2√5,0)* * (2√5,0)
* *
* *
(0,-6) *
→ x
Resposta
Distância focal:
.
Comprimento do eixo maior: .
Comprimento do eixo menor: .
Excentricidade: .
Equação reduzida:
Comprimento do eixo maior:
Comprimento do eixo menor:
Excentricidade:
Equação reduzida:
Esboço conforme acima.