Questão 2. Dois vértices de uma elipse são os pontos A_{1}=(0,-6) e A_{2}=(0,6) e seus focos são os pontos F_{1}=(0,4) e F_{2}=(0,-4). Determine, a distância focal, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a excentricidade da elipse, a equação reduzida e apresente um esboço dessa elipse.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com vértices A_{1}=(0,-6) e A_{2}=(0,6) e focos F_{1}=(0,4), F_{2}=(0,-4). O conteúdo é geometria analítica de elipse vertical. Vamos achar o centro, os parâmetros a, c, b, a excentricidade e, montar a equação reduzida e por fim esboçar.

Passo 2

O centro O é o ponto médio de A_{1}A_{2}. Como
O\;=\;\Bigl(\tfrac{0+0}{2},\;\tfrac{-6+6}{2}\Bigr)\;=\;(0,0),
a elipse está centrada na origem.

Passo 3

O semi-eixo maior a é a distância de O a qualquer vértice. Por exemplo,
a = |OA_{2}| = \sqrt{(0-0)^{2} + (6-0)^{2}} = 6.

Passo 4

O semi-distância focal c é a distância de O a qualquer foco. Por exemplo,
c = |OF_{1}| = \sqrt{(0-0)^{2} + (4-0)^{2}} = 4.
Logo a distância focal total é 2c = 8.

Passo 5

Para elipse vale b^{2} = a^{2} - c^{2}. Então
b^{2} = 6^{2} - 4^{2} = 36 - 16 = 20,
logo b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. O comprimento do eixo menor é 2b = 4\sqrt{5}.

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 7

Como o eixo maior é vertical, a equação reduzida é
\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1.

Passo 8

Esboço da elipse centrada em O, vértices em (0,\pm6), co-vértices em (\pm2\sqrt{5},0) e focos em (0,\pm4):
 ↑ y
 (0,6) *
 * *
 * *
(-2√5,0)* * (2√5,0)
 * *
 * *
 (0,-6) *
 → x

Resposta

Distância focal: 2c = 8.
Comprimento do eixo maior: 2a = 12.
Comprimento do eixo menor: 2b = 4\sqrt{5}.
Excentricidade: e = \tfrac{2}{3}.
Equação reduzida:
\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1.
Esboço conforme acima.

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