1^ a Questão.(2,0 pontos) Um satélite em órbita circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra ao longo de toda a órbita. Qual é a altitude da órbita (que recebe o nome de órbita geoestacionária)? Dados Massa da Terra =5.9722 times 1024 kg e G=6,6743 times 10^-11 m^3 kg-1 s^-2.

Passo 1

O enunciado pede a altitude de uma órbita geoestacionária, ou seja, uma órbita circular na qual o satélite permanece sobre o mesmo ponto do equador. O conteúdo é mecânica orbital (força gravitacional e movimento circular) e vamos precisar da lei da gravitação universal e da relação entre período e velocidade angular.

Passo 2

Num movimento circular uniforme, a força gravitacional fornece a força centrípeta. Então igualamos o módulo da força gravitacional à força centrípeta:

Passo 3

Fg = G M mr^2, Fc = m omega^2 r,

Passo 4

onde M é a massa da Terra, m a massa do satélite, r o raio da órbita (do centro da Terra ao satélite) e omega a velocidade angular.

Passo 5

Cancelando m e rearranjando, obtemos

Passo 6

G Mr^2 = omega^2 r Longrightarrow r^3 = G Momega^2

Passo 7

A velocidade angular omega está relacionada ao período T por omega = 2piT. Para geostacionária, o período é igual ao dia sideral da Terra, T = 23,h,56,min,4,s = 86164,s.

Passo 8

Substituindo omega = 2pi86164,s e os valores numéricos:

Passo 9

G = 6,6743times10^-11,m^3,kg^-1,s^-2, M = 5,9722times10^24,kg,

Passo 10

calculamos primeiro

Passo 11

omega = 2pi86164 approx 7,2921times10^-5,s^-1,

Passo 12

r^3 = 6,6743times10^-11times5,9722times10^24(7,2921times10^-5)^2 approx 7,498times10^22,m^3

Passo 13

Tomando a raiz cúbica:

Passo 14

r = (7,498times10^22)^1/3 approx 4,22times10^7,m = 42200,km

Passo 15

Para obter a altitude h acima da superfície, subtraímos o raio médio da Terra. Usando RTerraapprox6371,km:

Passo 16

h = r - RTerra = 42200,km - 6371,km approx 35800,km

Resposta

A altitude da órbita geoestacionária é aproximadamente 3,58×10^4 km acima da superfície da Terra.

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