Sejam A c B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A)=1 / 8 с P(B)=1 / 2. Calculc P(A U B) nas seguintes condições:
A c B são eventos independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B e as seguintes informações:
P(A)=\frac{1}{8},\qquad P(B)=\frac{1}{2}.
A pergunta é: calcular P(A\cup B) no caso em que A e B são eventos independentes. Vou listar claramente o que pedimos:
  • Calcular \,P(A\cup B)\, sabendo que P(A)=\frac{1}{8}, P(B)=\frac{1}{2} e que A e B são independentes.

Passo 2

Recordando a fórmula básica para a probabilidade da união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicação rápida e intuitiva: ao somar P(A) e P(B) contamos duas vezes a parte que está em A\cap B, então subtraímos P(A\cap B) para corrigir. Aqui:
  • \,P(A)\, é a probabilidade de ocorrer A.
  • \,P(B)\, é a probabilidade de ocorrer B.
  • \,P(A\cap B)\, é a probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente.

Passo 3

Agora usamos a hipótese de independência. Por definição, se A e B são independentes então vale:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Breve aula: independência significa que saber que um evento ocorreu não altera a probabilidade do outro. Um exemplo simples: lançar uma moeda e um dado; o resultado da moeda é independente do resultado do dado, então a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.

Passo 4

Calculemos \,P(A\cap B)\, usando a independência e os valores dados:
P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}.
Multiplicando frações: multiplicamos numeradores e denominadores,
\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{8\cdot 2}=\frac{1}{16}.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula da união:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Colocando os valores:
P(A\cup B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{16}.
Para somar/subtrair, passo para denominador comum 16:
\frac{1}{8}=\frac{2}{16},\qquad \frac{1}{2}=\frac{8}{16}.
Logo
P(A\cup B)=\frac{2}{16}+\frac{8}{16}-\frac{1}{16}=\frac{2+8-1}{16}=\frac{9}{16}.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma resposta): usar complemento. Sabemos que
P(A\cup B)=1-P(A^c\cap B^c).
Como A e B são independentes, também A^c e B^c são independentes, então
P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c)=\left(1-\frac{1}{8}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{16}.
Assim
P(A\cup B)=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{9}{16}

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