3^2 Questão ( 2,0 pontos) - Seja f(x, y) uma função real de classe C^1 e considere z(u, v)=f(u^3 cos 4 v, u^2 sen 2 v). Sabendo que nabla f(1,0)=(1,2), calcule partial zpartial u(1, pi / 2) e partial zpartial v(1, pi / 2).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f(x,y) de classe C^1 e definimos
z(u,v)=fl(u^3cos(4v),,u^2sin(2v)r)
Pede-se partial zpartial u(1,tfracpi2) e partial zpartial v(1,tfracpi2), sabendo que
nabla f(1,0) = (fx(1,0),,fy(1,0)) = (1,2)
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia em múltiplas variáveis.

Passo 2

Defina
x(u,v)=u^3cos(4v), y(u,v)=u^2sin(2v)
Pela regra da cadeia,
partial zpartial u = fxl(x(u,v),y(u,v)r),partial xpartial u + fyl(x(u,v),y(u,v)r),partial ypartial u,
partial zpartial v = fxl(x(u,v),y(u,v)r),partial xpartial v + fyl(x(u,v),y(u,v)r),partial ypartial v

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de x e y:
partial xpartial u =3u^2cos(4v), partial xpartial v =-4u^3sin(4v),
partial ypartial u =2usin(2v), partial ypartial v =2u^2cos(2v)

Passo 4

Avalie em (u,v)=(1,tfracpi2):
x(1,tfracpi2)=cosl(4cdottfracpi2r)=cos(2pi)=1, y(1,tfracpi2)=sinl(2cdottfracpi2r)=sin(pi)=0
Logo usamos nabla f(1,0)=(1,2). Quanto às derivadas:
partial xpartial u(1,tfracpi2)=3cdot1^2cdot1=3, partial xpartial v(1,tfracpi2)=-4cdot1^3cdot0=0,
partial ypartial u(1,tfracpi2)=2cdot1cdot0=0, partial ypartial v(1,tfracpi2)=2cdot1^2cdot(-1)=-2

Passo 5

Substituindo em
partial zpartial u=fx,xu+fy,yu
e
partial zpartial v=fx,xv+fy,yv,
temos em (1,tfracpi2):
partial zpartial u(1,tfracpi2) =1cdot3 + 2cdot0 = 3,
partial zpartial v(1,tfracpi2) =1cdot0 + 2cdot(-2) = -4

Resposta

partial zpartial u(1,tfracpi2) = 3,
partial zpartial v(1,tfracpi2) = -4

Exercícios relacionados