2^a Questão (2,0 pontos) - Seja f(x, y)=x+e^x^2-y^2.
a) Calcule partial fpartial u(1,1), sendo u o vetor unitário na direção e sentido do vetor 3 i+4 j.
b) Determine a taxa máxima de crescimento de f no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x+e^x^2-y^2 no ponto (1,1) ao longo do vetor unitário em direção a 3vec i+4vec j e, em seguida, a taxa máxima de crescimento de f nesse mesmo ponto. Vamos usar derivadas parciais, definir o gradiente nabla f e aplicar
Dvec uf(p)=nabla f(p)cdotvec u,
além de saber que a taxa máxima de crescimento em p é |nabla f(p)|.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Para qualquer (x,y),
partial fpartial x =1 + partialpartial xl(e^x^2-y^2r) =1 + 2x,e^x^2-y^2,
partial fpartial y =partialpartial yl(e^x^2-y^2r) =-2y,e^x^2-y^2
Logo,
nabla f(x,y) =l(1+2x,e^x^2-y^2,,-2y,e^x^2-y^2r)

Passo 3

Avaliar nabla f em (1,1). Como e^1^2-1^2=e^0=1, temos
partial fpartial x(1,1) =1+2cdot1cdot1=3, partial fpartial y(1,1) =-2cdot1cdot1=-2
Portanto
nabla f(1,1)=(3,,-2)

Passo 4

O vetor dado é 3vec i+4vec j. Seu módulo é raiz3^2+4^2=5, então o vetor unitário é
vec u=l(tfrac35,tfrac45r)
A derivada direcional em (1,1) é
Dvec uf(1,1) =nabla f(1,1)cdotvec u =(3,,-2)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =95-85=15

Passo 5

A taxa máxima de crescimento de f em (1,1) é o módulo do gradiente nesse ponto:
|nabla f(1,1)| =raiz3^2+(-2)^2 =raiz9+4 =raiz13

Resposta

(a) 15
(b) raiz13

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