Questão (2,0 pontos) - Seja
.
a) Calcule
, sendo
o vetor unitário na direção e sentido do vetor
.
b) Determine a taxa máxima de crescimento de
no ponto
.
a) Calcule
b) Determine a taxa máxima de crescimento de
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
ao longo do vetor unitário em direção a
e, em seguida, a taxa máxima de crescimento de
nesse mesmo ponto. Vamos usar derivadas parciais, definir o gradiente
e aplicar
além de saber que a taxa máxima de crescimento em
é
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Para qualquer
,
Logo,
Passo 3
Avaliar
em
. Como
, temos
Portanto
Passo 4
O vetor dado é
. Seu módulo é
, então o vetor unitário é
A derivada direcional em
é
Passo 5
A taxa máxima de crescimento de
em
é o módulo do gradiente nesse ponto:
Resposta
(a)
(b)
(b)