4" Questão (2,0 pontos) - Seja f(x, y)=ll(x+y)^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
a) Determine e faça um esboço para a curva de nível f(x, y)=k, k=2.
b) Verifique se f é contínua em (0,0).
c) Calcule, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
d) Verifique se fé diferenciável em (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
e pede:
– (a) a curva de nível ,
– (b) continuidade em ,
– (c) as derivadas parciais em ,
– (d) diferenciabilidade em .
Para isso vamos usar: solução de equação de nível, limites em , definição de derivada parcial e o teste de diferenciabilidade via aproximação linear.]

Passo 2

Queremos todos os (x,y)neq(0,0) tais que
f(x,y)=2 Long<=ftrightarrow (x+y)^2x^2+y^2=2
Multiplicando,
(x+y)^2=2(x^2+y^2) Long<=ftrightarrow x^2+2xy+y^2=2x^2+2y^2 Long<=ftrightarrow 0=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2
Logo a curva de nível é a reta
x-y=0 l(y=xr),
excetuando o ponto (0,0), pois ali f(0,0)=1neq2.

Passo 3

Para ver continuidade em (0,0) examinamos
lim(x,y)to(0,0)(x+y)^2x^2+y^2
Tomando a trajetória y=mxneq0,
(x+mx)^2x^2+m^2x^2 =x^2(1+m)^2x^2(1+m^2) =(1+m)^21+m^2,
que depende de m. Por exemplo, para m=1 o valor é 2 e para m=-1 é 0. Como o limite não é único,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Passo 4

A derivada parcial em x em (0,0) é
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Para hneq0 temos f(h,0)=h^2h^2=1, então
f(h,0)-1h=1-1h=0
e a derivada parcial é 0. Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-1h =0

Passo 5

Para f ser diferenciável em (0,0) precisaria valer
f(h,k)-f(0,0) - fx(0,0),h - fy(0,0),k =ol(raizh^2+k^2r)
Como f(0,0)=1 e fx(0,0)=fy(0,0)=0, isso pede
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-1raizh^2+k^2=0
Mas ao longo de k=h temos f(h,h)=2, então
f(h,h)-1raiz2h^2 =1raiz2,|h|toinfty,
não zero. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) A curva de nível f(x,y)=2 é a reta y=x (exceto (0,0)).
(b) f não é contínua em (0,0).
(c) dfracpartial fpartial x(0,0)=0 e dfracpartial fpartial y(0,0)=0.
(d) f não é diferenciável em (0,0).

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