Questão 2: (2.5 pontos)
Seja a função
dada por
a) Calcule a equaçāo do plano tangente à superfície
no ponto
b) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
Dut Dut
Seja a função
b) Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado dá a função e pede duas coisas. Dados e perguntas (listados de forma clara):
Ponto dado:
.
Também é indicado (e vamos confirmar) que .
Também é indicado (e vamos confirmar) que
Perguntas:
- Calcular a equação do plano tangente à superfície
no ponto . - Calcular a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário .
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas parciais de
(esses são passos pequenos e essenciais; não pule):
Definição prática: a derivada parcial de em relação a
, denotada
, é a derivada de
quando tratamos
como constante. De forma análoga para
.
Definição prática: a derivada parcial de
Calculemos:
Agora avaliamos em
:
Portanto confirmamos
.
Também precisamos do valor de
no ponto para montar o plano tangente:
Passo 3
Agora a fórmula do plano tangente: dado
e um ponto
, o plano tangente em
é
Explicação curta do porquê: é a aproximação linear de
perto do ponto usando as derivadas parciais — análogo à reta tangente em uma variável.
Substituindo os valores que já calculamos (
,
,
,
,
):
Agora simplificamos passo a passo:
Resposta do item (a) obtida:
.
Passo 4
Agora a derivada direcional. Conceito: a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos nesse sentido; a fórmula prática é
ou seja, produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário direção.
Primeiro verifiquemos que
é de fato unitário:
Ótimo — podemos aplicar diretamente a fórmula com
.
Já temos
. Então:
Calculemos as parcelas:
logo
Interpretação rápida: ao andar uma unidade na direção
passando por
, a função
aumenta à taxa
por unidade de comprimento nessa direção.
Passo 5
Observação prática que às vezes confunde: se alguém der o vetor
em vez do unitário
, não se usa diretamente esse vetor sem normalizar — a derivada direcional padrão exige vetor unitário. Para checar:
tem norma
; seu vetor unitário é
. O produto
é igual a
vezes a derivada direcional unitária (porque
). Portanto sempre normalize se necessário.
Você conseguiu até aqui — boa!! Vamos ao resumo final.