Questão 2: (2.5 pontos)
Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+3 x y . \quad \nabla f(x, y)=(5,5)
a) Calcule a equaçāo do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)= (1,1) . \quad z=5 x-5 y-10
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) Dut Dut =(3,4)=7

Passo 1

O enunciado dá a função e pede duas coisas. Dados e perguntas (listados de forma clara):
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy.
Ponto dado: \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1).
Também é indicado (e vamos confirmar) que \nabla f(1,1)=(5,5).
Perguntas:
  1. Calcular a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (1,1).
  2. Calcular a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de f (esses são passos pequenos e essenciais; não pule):
Definição prática: a derivada parcial de f em relação a x, denotada f_x, é a derivada de f quando tratamos y como constante. De forma análoga para f_y.
Calculemos:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}+3xy\big)=2x+3y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}+3xy\big)=2y+3x.
Agora avaliamos em (1,1):
f_x(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5,
f_y(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5.
Portanto confirmamos \nabla f(1,1)=(f_x(1,1),f_y(1,1))=(5,5).
Também precisamos do valor de f no ponto para montar o plano tangente:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}+3\cdot1\cdot1=1+1+3=5.

Passo 3

Agora a fórmula do plano tangente: dado z=f(x,y) e um ponto (x_0,y_0), o plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é
z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicação curta do porquê: é a aproximação linear de f perto do ponto usando as derivadas parciais — análogo à reta tangente em uma variável.
Substituindo os valores que já calculamos ( x_0=1, y_0=1, f(1,1)=5, f_x(1,1)=5, f_y(1,1)=5):
z=5+5(x-1)+5(y-1).
Agora simplificamos passo a passo:
z=5+5x-5+5y-5,
z=5x+5y-5.
Resposta do item (a) obtida: z=5x+5y-5.

Passo 4

Agora a derivada direcional. Conceito: a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos nesse sentido; a fórmula prática é
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u},
ou seja, produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário direção.
Primeiro verifiquemos que \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) é de fato unitário:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Ótimo — podemos aplicar diretamente a fórmula com \mathbf{v}.
Já temos \nabla f(1,1)=(5,5). Então:
D_{\mathbf{v}}f(1,1)= (5,5)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =5\cdot\frac{3}{5}+5\cdot\frac{4}{5}.
Calculemos as parcelas:
5\cdot\frac{3}{5}=3,\qquad 5\cdot\frac{4}{5}=4,
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D_{\mathbf{v}}f(1,1)=3+4=7.
Interpretação rápida: ao andar uma unidade na direção \mathbf{v} passando por (1,1), a função f aumenta à taxa 7 por unidade de comprimento nessa direção.

Passo 5

Observação prática que às vezes confunde: se alguém der o vetor (3,4) em vez do unitário \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right), não se usa diretamente esse vetor sem normalizar — a derivada direcional padrão exige vetor unitário. Para checar: (3,4) tem norma 5; seu vetor unitário é \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right). O produto \nabla f(1,1)\cdot(3,4)=5\cdot3+5\cdot4=35 é igual a 5 vezes a derivada direcional unitária (porque (3,4)=5\cdot\mathbf{v}). Portanto sempre normalize se necessário.
Você conseguiu até aqui — boa!! Vamos ao resumo final.

Resposta

z=5x+5y-5\n D_{\mathbf{v}}f(1,1)=7

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