Usando a definição de integral de superfície de campo vetorial calcule
onde
e
é a superfície
limitada pelo cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície do fluxo
onde
e
é a superfície definida por
limitada pelo cilindro
. Informações relevantes dadas:
- A superfície é o gráfico
com . - A região de projeção no plano
é dada pela curva . - O campo vetorial é
.
Observação: o enunciado não especifica a orientação da normal; vou adotar a orientação usual “para cima” (normal com componentepositiva).
Passo 2
Fórmula útil (explicação didática): para uma superfície dada como gráfico
parametrizada por
, os vetores tangentes são
onde
e
. O produto vetorial
fornece um vetor normal (não unitário) à superfície:
Esse vetor aponta para cima quando a componente
é positiva (aqui é
). A fórmula prática para o fluxo com orientação para cima é então
onde
é a projeção de
no plano
e
é a área no plano
. Explicando as variáveis:
é o campo avaliado sobre a superfície;
é a “normal de superfície” que já incorpora a orientação e que, quando multiplicada por
, dá a contribuição de fluxo.
Passo 3
Calculo das derivadas parciais de
:
Avalio o campo na superfície
:
Passo 4
Formo o ponto a ponto o produto escalar com a normal não unitária
:
Faço as contas com calma:
Somando:
Passo 5
Identifico a região
no plano
limitada por
. Reescrevo a equação completando quadrado:
ou seja,
é o disco de raio
centrado em
. Para integrar de forma prática, uso coordenadas polares centradas em
com
,
. Naquelas coordenadas a curva fica
então a região
corresponde a
porque para
positivo (necessário para
) temos
.
Passo 6
Passo o integrando para coordenadas polares. Substituo
,
e
. Primeiro escrevo a expressão já obtida:
Em polares:
Somando os dois primeiros termos fatoro
. Assim o integrando fica
Multiplicando por
obtemos a função a integrar:
Passo 7
Faço a integração em
primeiro, com
:
Calculo as primitivas:
Avalio nos limites
a
:
Simplificando potências:
portanto a integral em
dá
Agora o fluxo é a integral em
:
Passo 8
Analiso as duas parcelas da integral em
.
- A primeira parcela é proporcional a
. Essa função é ímpar (porque é ímpar e é par), logo sua integral simétrica em é zero:
- Resta então a segunda parcela:
Como
é função par, isto vale
Calculo
usando redução de potência. Primeiro escrevo
portanto
Integro de
a
. Os termos com
e
têm integral zero nesse intervalo, então
Multiplicando:
Passo 9
Portanto, com a orientação escolhida (normal apontando para cima), a integral de superfície vale
. Concluo que o fluxo é positivo e igual a
.