Usando a definição de integral de superfície de campo vetorial calcule \iint_{S} F \cdot n d s onde F=\left(y^{2}, z, x\right) e S é a superfície z=x y limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície do fluxo
\iint_{S} F\cdot n\,dS
onde F=\left(y^{2},\,z,\,x\right) e S é a superfície definida por z=xy limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=2x. Informações relevantes dadas:
  • A superfície é o gráfico z=g(x,y) com g(x,y)=xy.
  • A região de projeção no plano xy é dada pela curva x^{2}+y^{2}=2x.
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=(y^{2},\,z,\,x).
    Observação: o enunciado não especifica a orientação da normal; vou adotar a orientação usual “para cima” (normal com componente z positiva).

Passo 2

Fórmula útil (explicação didática): para uma superfície dada como gráfico z=g(x,y) parametrizada por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)), os vetores tangentes são
\mathbf{r}_x=(1,0,g_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,g_y),
onde g_x=\partial g/\partial x e g_y=\partial g/\partial y. O produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y fornece um vetor normal (não unitário) à superfície:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,\,-g_y,\,1).
Esse vetor aponta para cima quando a componente z é positiva (aqui é 1). A fórmula prática para o fluxo com orientação para cima é então
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_{D} \mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dA,
onde D é a projeção de S no plano xy e dA é a área no plano xy. Explicando as variáveis: \mathbf{F}(x,y,g(x,y)) é o campo avaliado sobre a superfície; (-g_x,-g_y,1) é a “normal de superfície” que já incorpora a orientação e que, quando multiplicada por dA, dá a contribuição de fluxo.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais de g(x,y)=xy:
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y,\qquad g_y=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
Avalio o campo na superfície z=xy:
\mathbf{F}(x,y,xy) = \bigl(y^{2},\,xy,\,x\bigr).

Passo 4

Formo o ponto a ponto o produto escalar com a normal não unitária (-g_x,-g_y,1)=(-y,-x,1):
\mathbf{F}\cdot(-g_x,-g_y,1) = (y^{2})(-y) + (xy)(-x) + x(1).
Faço as contas com calma:
(y^{2})(-y) = -y^{3},\qquad (xy)(-x) = -x^{2}y,\qquad x(1)=x.
Somando:
\mathbf{F}\cdot(-g_x,-g_y,1) = -y^{3} - x^{2}y + x.

Passo 5

Identifico a região D no plano xy limitada por x^{2}+y^{2}=2x. Reescrevo a equação completando quadrado:
x^{2}-2x+y^{2}=0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2}+y^{2}=1,
ou seja, D é o disco de raio 1 centrado em (1,0). Para integrar de forma prática, uso coordenadas polares centradas em 0 com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Naquelas coordenadas a curva fica
r^{2}=2r\cos\theta \;\Longrightarrow\; r=0 \text{ ou } r=2\cos\theta,
então a região D corresponde a
0\le r\le 2\cos\theta,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},
porque para \cos\theta positivo (necessário para r\ge0) temos \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Passo o integrando para coordenadas polares. Substituo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta. Primeiro escrevo a expressão já obtida:
\mathbf{F}\cdot(-g_x,-g_y,1) = -y^{3} - x^{2}y + x.
Em polares:
-y^{3} = -r^{3}\sin^{3}\theta,\quad -x^{2}y = -r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta,\quad x = r\cos\theta.
Somando os dois primeiros termos fatoro -r^{3}\sin\theta(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)= -r^{3}\sin\theta. Assim o integrando fica
-r^{3}\sin\theta + r\cos\theta.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta obtemos a função a integrar:
\bigl(-r^{3}\sin\theta + r\cos\theta\bigr)r = -r^{4}\sin\theta + r^{2}\cos\theta.

Passo 7

Faço a integração em r primeiro, com 0\le r\le 2\cos\theta:
\int_{0}^{2\cos\theta}\bigl(-r^{4}\sin\theta + r^{2}\cos\theta\bigr)\,dr = -\sin\theta\int_{0}^{2\cos\theta} r^{4}\,dr + \cos\theta\int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr.
Calculo as primitivas:
\int r^{4}\,dr = \frac{r^{5}}{5},\qquad \int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3}.
Avalio nos limites 0 a 2\cos\theta:
-\sin\theta\cdot\frac{(2\cos\theta)^{5}}{5} + \cos\theta\cdot\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3}.
Simplificando potências:
(2\cos\theta)^{5}=32\cos^{5}\theta,\qquad (2\cos\theta)^{3}=8\cos^{3}\theta,
portanto a integral em r
-\frac{32}{5}\sin\theta\cos^{5}\theta + \frac{8}{3}\cos^{4}\theta.
Agora o fluxo é a integral em \theta:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot n\,dS = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(-\frac{32}{5}\sin\theta\cos^{5}\theta + \frac{8}{3}\cos^{4}\theta\right)\,d\theta.

Passo 8

Analiso as duas parcelas da integral em \theta.
  • A primeira parcela é proporcional a \sin\theta\cos^{5}\theta. Essa função é ímpar (porque \sin\theta é ímpar e \cos^{5}\theta é par), logo sua integral simétrica em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] é zero:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{5}\theta\,d\theta = 0.
  • Resta então a segunda parcela:
\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta.
Como \cos^{4}\theta é função par, isto vale
\frac{8}{3}\cdot 2\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{16}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta.
Calculo \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta usando redução de potência. Primeiro escrevo
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2},
portanto
\cos^{4}\theta = \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{1+2\cos 2\theta + \cos^{2}2\theta}{4} = \frac{1+2\cos 2\theta + \tfrac{1+\cos 4\theta}{2}}{4} = \frac{3+4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}.
Integro de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Os termos com \cos 2\theta e \cos 4\theta têm integral zero nesse intervalo, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.
Multiplicando:
\frac{16}{3}\cdot\frac{3\pi}{16} = \pi.

Passo 9

Portanto, com a orientação escolhida (normal apontando para cima), a integral de superfície vale \pi. Concluo que o fluxo é positivo e igual a \pi.

Resposta

\pi

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