Questão 2: (2.5 pontos)

Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
\nabla\left(P_{0}\right) \cdot R_{1}(t)
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+3 x y .
a) Calcule a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)= (1,1).
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy
e o ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1). Pede-se:
  1. a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto \left(1,1\right);
  2. a derivada direcional de f no ponto \left(1,1\right) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 2

Vamos preparar o que precisamos calcular. Para obter a equação do plano tangente numa superfície dada por z=f(x,y) num ponto (x_0,y_0) usamos a fórmula padrão (que será apresentada e explicada no passo seguinte), que exige: o valor de f em (x_0,y_0) e as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} avaliadas em (x_0,y_0). Portanto, primeiro calculemos as derivadas parciais de f.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais. Explico a ideia: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo; análogo para \frac{\partial f}{\partial y}.
Para f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy temos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy\big).
Agora calcule termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)=0\quad\text{(porque \(y\) é tratado como constante)},é
\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy\big)=3y\quad\text{(pois é linear em \(x\))}.é
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+3y.
De modo semelhante para a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy\big)=0+2y+3x,
ou seja
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y+3x.

Passo 4

Avaliação das derivadas parciais e de f no ponto (1,1). Primeiro o valor da função:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}+3\cdot1\cdot1=1+1+3=5.
Agora as derivadas parciais em (1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5.
Portanto, as inclinações da superfície nas direções x e y no ponto são ambas iguais a 5.

Passo 5

Fórmula e interpretação do plano tangente. A fórmula do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é:
z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • f(x_0,y_0) é a altura da superfície no ponto de tangência;
  • \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) multiplica o deslocamento (x-x_0) para dar a contribuição linear em x;
  • \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) faz o análogo para y.
Substituindo x_0=1, y_0=1, f(1,1)=5, \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=5 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=5 obtemos:
z=5+5(x-1)+5(y-1).
Agora simplificamos essa expressão:
z=5+5x-5+5y-5=5x+5y-5.

Passo 6

Derivada direcional: teoria e aplicação. A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é dada pela fórmula
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(x_0,y_0) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais:
\displaystyle \nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right).
A interpretação: a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto na direção \mathbf{u}; o gradiente aponta na direção de maior aumento e seu produto escalar com \mathbf{u} projeta essa taxa na direção desejada.
No nosso caso, já calculamos \nabla f(1,1)=(5,5). O vetor pedido é \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right); antes de usar, confirmamos que é unitário:
\left\|\mathbf{v}\right\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Portanto podemos aplicar diretamente a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{v}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{v}=(5,5)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Calcule o produto escalar:
(5,5)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=5\cdot\frac{3}{5}+5\cdot\frac{4}{5}=3+4=7.

Resposta

z=5x+5y-5
D_{\mathbf{v}}f(1,1)=7

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