Questão 2: (2.5 pontos)
Seja a função
dada por
a) Calcule a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
b) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
b) Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e o ponto
. Pede-se:
- a equação do plano tangente à superfície
no ponto ; - a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário .
Passo 2
Vamos preparar o que precisamos calcular. Para obter a equação do plano tangente numa superfície dada por
num ponto
usamos a fórmula padrão (que será apresentada e explicada no passo seguinte), que exige: o valor de
em
e as derivadas parciais
e
avaliadas em
. Portanto, primeiro calculemos as derivadas parciais de
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais. Explico a ideia: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo; análogo para
.
Para
temos:
Agora calcule termo a termo:
Logo
De modo semelhante para a derivada parcial em relação a
:
ou seja
Passo 4
Avaliação das derivadas parciais e de
no ponto
. Primeiro o valor da função:
Agora as derivadas parciais em
:
Portanto, as inclinações da superfície nas direções
e
no ponto são ambas iguais a
.
Passo 5
Fórmula e interpretação do plano tangente. A fórmula do plano tangente à superfície
no ponto
é:
Aqui:
-
é a altura da superfície no ponto de tangência; -
multiplica o deslocamento para dar a contribuição linear em ; -
faz o análogo para .
Substituindo
,
,
,
e
obtemos:
Agora simplificamos essa expressão:
Passo 6
Derivada direcional: teoria e aplicação. A derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é dada pela fórmula
onde
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais:
A interpretação: a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir do ponto na direção
; o gradiente aponta na direção de maior aumento e seu produto escalar com
projeta essa taxa na direção desejada.
No nosso caso, já calculamos
. O vetor pedido é
; antes de usar, confirmamos que é unitário:
Portanto podemos aplicar diretamente a fórmula da derivada direcional:
Calcule o produto escalar: