Resolva a equação
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=e^{-x} \operatorname{sen} x .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = e^{-x}\sin x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Trata-se de uma equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (fonte) é e^{-x}\sin x.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular que gere o lado direito.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0.
Escrevemos o polinômio característico \;p(r)=r^{3}-r^{2}+r-1.; Vamos fatorar p(r). Agrupando termos,
p(r)=r^{2}(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^{2}+1).
Logo as raízes são r=1 e r=\pm i.

Passo 3

Da teoria: para cada raiz real r_0 do polinômio característico temos solução e^{r_0 x}; para cada par de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta temos duas soluções reais e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Aplicando isso às raízes encontradas:
  • Para r=1 temos e^{x}.
  • Para r=\pm i temos \cos x e \sin x (aqui \alpha=0,\beta=1, então e^{0\cdot x}=1).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} de
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = e^{-x}\sin x.
Uma técnica eficiente é usar a complexificação: note que e^{-x}\sin x é a parte imaginária de e^{(-1+i)x}, pois
\operatorname{Im}\big(e^{(-1+i)x}\big)=e^{-x}\sin x.
Defina o operador linear L(D)=D^{3}-D^{2}+D-1, onde D é a derivação. Uma propriedade útil é
L\big(e^{\lambda x}\big)=p(\lambda)\,e^{\lambda x},
porque D(e^{\lambda x})=\lambda e^{\lambda x}, D^{2}(e^{\lambda x})=\lambda^{2}e^{\lambda x}, etc., e assim substituímos D por \lambda no polinômio característico p.

Passo 5

Tomemos a função complexa z(x)=C e^{(-1+i)x} com constante complexa C. Então
L[z]=C\,p(-1+i)\,e^{(-1+i)x}.
Queremos que a parte imaginária de L[z] seja e^{-x}\sin x, ou seja, gostaríamos que L[z]=e^{(-1+i)x} (porque então \operatorname{Im}(L[z])=\operatorname{Im}(e^{(-1+i)x})=e^{-x}\sin x). Dessa forma escolhemos
C=\frac{1}{p(-1+i)}.
Vamos calcular p(-1+i). Primeiro calculemos potências:
(-1+i)^{2}=-2i,
(-1+i)^{3}=(-2i)(-1+i)=2+2i.
Agora
p(-1+i)=(-1+i)^{3}-(-1+i)^{2}+(-1+i)-1=(2+2i)-(-2i)+(-1+i)-1.
Agrupando termos reais e imaginários:
\text{reais: }2-1-1=0,\qquad \text{imaginários: }2i+2i+i=5i,á
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p(-1+i)=5i.

Passo 6

Com p(-1+i)=5i temos
C=\frac{1}{5i}=-\frac{i}{5}.
Assim
z(x)=-\frac{i}{5}e^{(-1+i)x}=-\frac{i}{5}e^{-x}(\cos x + i\sin x).
Multiplicando:
z(x)=\frac{e^{-x}}{5}\big(\sin x - i\cos x\big).
A solução particular real procurada é a parte imaginária de z multiplicada por 1 (porque escolhemos C para que L[z]=e^{(-1+i)x}). Portanto
y_{p}(x)=\operatorname{Im}\big(z(x)\big)=-\frac{1}{5}e^{-x}\cos x.
(Verificação conceitual: por construção temos L[z]=e^{(-1+i)x}, então L[\operatorname{Im} z]=\operatorname{Im}(L[z])=e^{-x}\sin x.)

Passo 7

Agora somamos a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x -\frac{1}{5}e^{-x}\cos x.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x -\frac{1}{5}e^{-x}\cos x.

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