Resolva a equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - Trata-se de uma equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (fonte) é
. - O objetivo é obter a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular que gere o lado direito.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução da equação homogênea associada:
Escrevemos o polinômio característico
.; Vamos fatorar
. Agrupando termos,
Logo as raízes são
e
.
Passo 3
Da teoria: para cada raiz real
do polinômio característico temos solução
; para cada par de raízes complexas conjugadas
temos duas soluções reais
e
. Aplicando isso às raízes encontradas:
- Para
temos . - Para
temos e (aqui , então ).
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
de
Uma técnica eficiente é usar a complexificação: note que
é a parte imaginária de
, pois
Defina o operador linear
, onde
é a derivação. Uma propriedade útil é
porque
,
, etc., e assim substituímos
por
no polinômio característico
.
Passo 5
Tomemos a função complexa
com constante complexa
. Então
Queremos que a parte imaginária de
seja
, ou seja, gostaríamos que
(porque então
). Dessa forma escolhemos
Vamos calcular
. Primeiro calculemos potências:
Agora
Agrupando termos reais e imaginários:
logo
Passo 6
Com
temos
Assim
Multiplicando:
A solução particular real procurada é a parte imaginária de
multiplicada por 1 (porque escolhemos
para que
). Portanto
(Verificação conceitual: por construção temos
, então
.)
Passo 7
Agora somamos a solução homogênea e a particular para obter a solução geral: