Explico: ao derivar x^{m} usamos a regra d(x^{m})/dx = m x^{m-1} (válida para qualquer real m quando x>0). A segunda derivada segue aplicando a derivada novamente.
Passo 3
Substituindo essas derivadas na parte homogênea (lado esquerdo) da equação:
Como x>0, temos W(x)=x^{2}\neq0, então y_{1},y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções da homogênea.
Passo 5
Antes de aplicar variação dos parâmetros, ponho a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) dividindo tudo por x^{2}:
y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^{2}}y = x\ln(x).
Aqui identifiquei g(x)=x\ln(x). A variação dos parâmetros procura uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2},
com as condições impostas (para simplificar)
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x).
Explico: essas duas condições permitem determinar u_{1}' e u_{2}' unicamente; são uma escolha padrão na variação dos parâmetros que elimina segundas derivadas de u_{1},u_{2} ao calcular y_{p}''.
Passo 6
Usando as fórmulas direta e conveniente (que se obtêm resolvendo o sistema acima) temos
Agora integro u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1},u_{2}. Começando por u_{1}:
u_{1}=\int -x\ln x\,dx = -\int x\ln x\,dx.
Faço a integral por partes em \int x\ln x\,dx. Escolho a=\ln x (então da=\frac{1}{x}dx) e db=x\,dx (então b=\frac{x^{2}}{2}). Assim
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.
Então
u_{1} = -\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right) = -\frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4}.
Constantes de integração podem ser omitidas aqui (ou colocadas zero) porque termos constantes em u_{1},u_{2} multiplicados por y_{1},y_{2} apenas reproduzem partes da solução homogênea e são absorvidos por C_{1},C_{2}.
Agora u_{2}:
u_{2}=\int \ln x\,dx.
Também por partes: tome a=\ln x, db=dx então b=x. Obtém-se
\int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Portanto
u_{2}=x\ln x - x.
Passo 8
Montamos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}=\Big(-\frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4}\Big)\cdot x + \big(x\ln x - x\big)\cdot x^{2}.
Calculo termo a termo:
\Big(-\frac{x^{2}}{2}\ln x\Big)\cdot x = -\frac{x^{3}}{2}\ln x,\qquad \frac{x^{2}}{4}\cdot x = \frac{x^{3}}{4},
y_{p} = \Big(-\frac{x^{3}}{2}\ln x + \frac{x^{3}}{4}\Big) + \Big(x^{3}\ln x - x^{3}\Big).
Agrupando os termos com \ln x e os termos em x^{3}:
y_{p} = \left(-\tfrac{1}{2}+\!1\right)x^{3}\ln x + \left(\tfrac{1}{4}-1\right)x^{3} = \tfrac{1}{2}x^{3}\ln x - \tfrac{3}{4}x^{3}.
Passo 9
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}\ln x - \frac{3}{4}x^{3},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Peço atenção: as constantes de integração que poderiam aparecer ao integrar u_{1}',u_{2}' foram tomadas zero porque esses termos seriam redundantes (podem ser absorvidos em C_{1},C_{2}).