Resolva usando a substituição y=x^{m} e depois o método da variação dos parámetros.
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^{3} \ln (x), \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-2xy'+2y=x^{3}\ln(x),\quad x>0,
e pede que a resolvamos usando primeiro a substituição y=x^{m} e depois o método da variação dos parâmetros. As informações relevantes são:
  • A equação é de segunda ordem e não homogênea (há o termo x^{3}\ln(x) à direita).
  • Devemos obter a solução geral y(x) válida para x>0.
  • A estratégia exigida: achar as soluções da homogênea com y=x^{m} e em seguida aplicar variação dos parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

Tentamos uma solução da homogênea da forma y=x^{m}. Vou calcular as derivadas para poder substituir na equação:
y=x^{m},\qquad y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Explico: ao derivar x^{m} usamos a regra d(x^{m})/dx = m x^{m-1} (válida para qualquer real m quando x>0). A segunda derivada segue aplicando a derivada novamente.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na parte homogênea (lado esquerdo) da equação:
x^{2}y''-2xy'+2y = x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)-2x\big(m x^{m-1}\big)+2x^{m}.
Factorizando x^{m}:
= \big(m(m-1)-2m+2\big)x^{m} = \big(m^{2}-3m+2\big)x^{m}.
A equação característica é então
m^{2}-3m+2=0.
Resolvendo a quadrática:
m^{2}-3m+2=(m-1)(m-2)=0 \implies m=1 \text{ ou } m=2.

Passo 4

Portanto duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}=x,\qquad y_{2}=x^{2}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x+C_{2}x^{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes.
Vou calcular o Wronskiano porque vamos precisar dele para a variação dos parâmetros:
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} x & x^{2} \\\\ 1 & 2x\end{vmatrix}=x\cdot 2x - 1\cdot x^{2}=x^{2}.
Como x>0, temos W(x)=x^{2}\neq0, então y_{1},y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções da homogênea.

Passo 5

Antes de aplicar variação dos parâmetros, ponho a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) dividindo tudo por x^{2}:
y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^{2}}y = x\ln(x).
Aqui identifiquei g(x)=x\ln(x). A variação dos parâmetros procura uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}+u_{2}(x)y_{2},
com as condições impostas (para simplificar)
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x).
Explico: essas duas condições permitem determinar u_{1}' e u_{2}' unicamente; são uma escolha padrão na variação dos parâmetros que elimina segundas derivadas de u_{1},u_{2} ao calcular y_{p}''.

Passo 6

Usando as fórmulas direta e conveniente (que se obtêm resolvendo o sistema acima) temos
u_{1}'=-\frac{g(x)y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{g(x)y_{1}}{W}.
Vou aplicar com g(x)=x\ln(x), y_{1}=x, y_{2}=x^{2}, W=x^{2}:
u_{1}'=-\frac{(x\ln x)\cdot x^{2}}{x^{2}} = -x\ln x,
u_{2}'=\frac{(x\ln x)\cdot x}{x^{2}} = \ln x.

Passo 7

Agora integro u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1},u_{2}. Começando por u_{1}:
u_{1}=\int -x\ln x\,dx = -\int x\ln x\,dx.
Faço a integral por partes em \int x\ln x\,dx. Escolho a=\ln x (então da=\frac{1}{x}dx) e db=x\,dx (então b=\frac{x^{2}}{2}). Assim
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.
Então
u_{1} = -\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right) = -\frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4}.
Constantes de integração podem ser omitidas aqui (ou colocadas zero) porque termos constantes em u_{1},u_{2} multiplicados por y_{1},y_{2} apenas reproduzem partes da solução homogênea e são absorvidos por C_{1},C_{2}.
Agora u_{2}:
u_{2}=\int \ln x\,dx.
Também por partes: tome a=\ln x, db=dx então b=x. Obtém-se
\int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Portanto
u_{2}=x\ln x - x.

Passo 8

Montamos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}=\Big(-\frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4}\Big)\cdot x + \big(x\ln x - x\big)\cdot x^{2}.
Calculo termo a termo:
\Big(-\frac{x^{2}}{2}\ln x\Big)\cdot x = -\frac{x^{3}}{2}\ln x,\qquad \frac{x^{2}}{4}\cdot x = \frac{x^{3}}{4},
(x\ln x)\cdot x^{2} = x^{3}\ln x,\qquad -x\cdot x^{2} = -x^{3}.
Somando:
y_{p} = \Big(-\frac{x^{3}}{2}\ln x + \frac{x^{3}}{4}\Big) + \Big(x^{3}\ln x - x^{3}\Big).
Agrupando os termos com \ln x e os termos em x^{3}:
y_{p} = \left(-\tfrac{1}{2}+\!1\right)x^{3}\ln x + \left(\tfrac{1}{4}-1\right)x^{3} = \tfrac{1}{2}x^{3}\ln x - \tfrac{3}{4}x^{3}.

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}\ln x - \frac{3}{4}x^{3},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Peço atenção: as constantes de integração que poderiam aparecer ao integrar u_{1}',u_{2}' foram tomadas zero porque esses termos seriam redundantes (podem ser absorvidos em C_{1},C_{2}).

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x^{3}\ln x-\dfrac{3}{4}x^{3}

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