Questão EXTRA. (1,0 ponto) Utilize a definição formal de limite de Karl Weierstrass para provar que:
\lim _{x \rightarrow-1}(3-4 x)=7
Apresente a demonstração completa, definindo um \delta em termos de \epsilon e seguindo todos os passos formais da prova.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x)=3-4x.
  • Ponto onde o limite é tomado: x\to -1.
  • Valor que se quer provar como limite: 7.
O enunciado pede uma prova usando a definição formal de limite (definição de Karl Weierstrass): demonstrar, de forma completa, que o valor do limite é 7 apresentando um \delta em função de um \epsilon>0 e seguindo todos os passos formais.

Passo 2

Recordando a definição formal (Weierstrass) de limite que vamos usar: afirmar que
\lim_{x\to -1} f(x) = 7
significa que, para todo \epsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-1)|<\delta, temos |f(x)-7|<\epsilon.
Aqui f(x)=3-4x, o ponto a=-1 e o valor limite proposto L=7. O objetivo é, dado um \epsilon>0 arbitrário, encontrar um \delta>0 (expressa-lo em função de \epsilon) que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Calcular a diferença |f(x)-7| e manipulá-la algebricamente para vinculá-la a |x+1|.
Começamos por escrever:
|f(x)-7| = |(3-4x)-7|.
Fazendo as contas dentro do valor absoluto:
(3-4x)-7 = -4x-4 = -4(x+1).
Como |-4(x+1)| = 4\,|x+1| (propriedade do valor absoluto: |c\cdot y|=|c|\,|y| para constante c), obtemos
|f(x)-7| = 4\,|x+1|.

Passo 4

A partir da igualdade |f(x)-7| = 4\,|x+1| vemos diretamente como escolher \delta. Queremos garantir |f(x)-7|<\epsilon. Então basta exigir
4\,|x+1| < \epsilon,
o que equivale a
|x+1| < \frac{\epsilon}{4}.
Portanto uma escolha natural é definir
\delta = \frac{\epsilon}{4}.
Note que \delta>0 sempre que \epsilon>0, como exige a definição.
Agora fazemos a prova formal: seja \epsilon>0 arbitrário. Tome \delta=\dfrac{\epsilon}{4}. Se x satisfaz 0<|x+1|<\delta, então
|f(x)-7| = 4\,|x+1| < 4\cdot\delta = 4\cdot\frac{\epsilon}{4} = \epsilon.
Assim, para esse \delta temos que 0<|x-(-1)|<\delta implica |f(x)-7|<\epsilon, que é exatamente o que a definição exige.

Passo 5

Concluímos, pela definição formal de Weierstrass, que para todo \epsilon>0 existe \delta=\dfrac{\epsilon}{4}>0 tal que 0<|x+1|<\delta implica |f(x)-7|<\epsilon. Logo
\lim_{x\to -1}(3-4x)=7.
Um comentário rápido e amigo: o procedimento foi só manipular a diferença f(x)-L até expressá-la como uma constante vezes |x+1|, aí escolhemos \delta para cancelar essa constante. Para funções lineares isso costuma ser bem direto — você mandou bem pedindo o detalhe formal!

Resposta

\lim _{x \rightarrow-1}(3-4 x)=7

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