Questão EXTRA. (1,0 ponto) Utilize a definição formal de limite de Karl Weierstrass para provar que:
Apresente a demonstração completa, definindo um
em termos de
e seguindo todos os passos formais da prova.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Ponto onde o limite é tomado:
. - Valor que se quer provar como limite:
.
O enunciado pede uma prova usando a definição formal de limite (definição de Karl Weierstrass): demonstrar, de forma completa, que o valor do limite é
apresentando um
em função de um
e seguindo todos os passos formais.
Passo 2
Recordando a definição formal (Weierstrass) de limite que vamos usar: afirmar que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Aqui
, o ponto
e o valor limite proposto
. O objetivo é, dado um
arbitrário, encontrar um
(expressa-lo em função de
) que satisfaça a condição acima.
Passo 3
Calcular a diferença
e manipulá-la algebricamente para vinculá-la a
.
Começamos por escrever:
Fazendo as contas dentro do valor absoluto:
Como
(propriedade do valor absoluto:
para constante
), obtemos
Passo 4
A partir da igualdade
vemos diretamente como escolher
. Queremos garantir
. Então basta exigir
o que equivale a
Portanto uma escolha natural é definir
Note que
sempre que
, como exige a definição.
Agora fazemos a prova formal: seja
arbitrário. Tome
. Se
satisfaz
, então
Assim, para esse
temos que
implica
, que é exatamente o que a definição exige.
Passo 5
Concluímos, pela definição formal de Weierstrass, que para todo
existe
tal que
implica
. Logo
Um comentário rápido e amigo: o procedimento foi só manipular a diferença
até expressá-la como uma constante vezes
, aí escolhemos
para cancelar essa constante. Para funções lineares isso costuma ser bem direto — você mandou bem pedindo o detalhe formal!