Questão 3 (2,8 pontos): Seja A=\left[\begin{array}{rrr}-9 & 11 & 0 \\\\ -5 & 7 & 0 \\\\ 8 & 3 & 10\end{array}\right].
a) (1,8 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespaços.
b) ( 0,4 \mathrm{pt} ) Dê uma base do \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
e pede
a) os autovalores e bases dos autoespaços;
b) uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A (indicando os autovalores);
c) encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A = P\,D\,P^{-1}.
O conteúdo necessário é: cálculo do polinômio característico, solução de (A-\lambda I)x=0 e montagem da diagonalização.
As primeiras duas linhas dão x=y. A terceira 8x+3y+8z=0\Rightarrow11x+8z=0\Rightarrow z=-\tfrac{11}{8}x.
Tomando x=8 resulta y=8, z=-11.
Base de E_{2}: \{(8,8,-11)\}.
Passo 4
Como os três autovalores são distintos, os vetores
(0,0,1),\quad (154,70,-103),\quad (8,8,-11)
são linearmente independentes. Logo
\{(0,0,1),\,(154,70,-103),\,(8,8,-11)\}
é uma base de \mathbb{R}^3, com autovalores 10, -4 e 2 respectivamente.
Passo 5
Escolhendo a ordem \lambda_1=10, \lambda_2=-4, \lambda_3=2, montamos