Questão 3 (2,8 pontos): Seja A=\left[\begin{array}{rrr}-9 & 11 & 0 \\\\ -5 & 7 & 0 \\\\ 8 & 3 & 10\end{array}\right].
a) (1,8 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespaços.
b) ( 0,4 \mathrm{pt} ) Dê uma base do \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -9 & 11 & 0\\\\ -5 & 7 & 0\\\\ 8 & 3 & 10 \end{pmatrix},
e pede
a) os autovalores e bases dos autoespaços;
b) uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A (indicando os autovalores);
c) encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A = P\,D\,P^{-1}.
O conteúdo necessário é: cálculo do polinômio característico, solução de (A-\lambda I)x=0 e montagem da diagonalização.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -9-\lambda & 11 & 0\\\\ -5 & 7-\lambda & 0\\\\ 8 & 3 & 10-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela terceira coluna fica
\det(A - \lambda I) = (10-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} -9-\lambda & 11\\\\ -5 & 7-\lambda \end{pmatrix}.
E
\det\begin{pmatrix} -9-\lambda & 11\\\\ -5 & 7-\lambda \end{pmatrix} = (-9-\lambda)(7-\lambda)-(-55) = \lambda^2+2\lambda-8 = (\lambda+4)(\lambda-2).
Logo
\det(A - \lambda I) = (10-\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2),
portanto os autovalores são
\lambda_1=10, \lambda_2=-4, \lambda_3=2.

Passo 3

Agora determinamos cada autoespaço resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=10:
A-10I=\begin{pmatrix} -19 & 11 & 0\\\\ -5 & -3 & 0\\\\ 8 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
As equações -19x+11y=0, -5x-3y=0, 8x+3y=0 obrigam x=y=0, deixando z livre.
Base de E_{10}: \{(0,0,1)\}.
Para \lambda=-4:
A+4I=\begin{pmatrix} -5 & 11 & 0\\\\ -5 & 11 & 0\\\\ 8 & 3 & 14 \end{pmatrix}.
As duas primeiras linhas dão -5x+11y=0 \Rightarrow y=\tfrac{5}{11}x.
A terceira linha 8x+3y+14z=0 leva a
8x+3\cdot\frac{5}{11}x+14z=0 \;\Longrightarrow\; z=-\frac{103}{154}x.
Escolhendo x=154 obtemos y=70, z=-103.
Base de E_{-4}: \{(154,70,-103)\}.
Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix} -11 & 11 & 0\\\\ -5 & 5 & 0\\\\ 8 & 3 & 8 \end{pmatrix}.
As primeiras duas linhas dão x=y. A terceira 8x+3y+8z=0 \Rightarrow11x+8z=0 \Rightarrow z=-\tfrac{11}{8}x.
Tomando x=8 resulta y=8, z=-11.
Base de E_{2}: \{(8,8,-11)\}.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, os vetores
(0,0,1),\quad (154,70,-103),\quad (8,8,-11)
são linearmente independentes. Logo
\{(0,0,1),\,(154,70,-103),\,(8,8,-11)\}
é uma base de \mathbb{R}^3, com autovalores 10, -4 e 2 respectivamente.

Passo 5

Escolhendo a ordem \lambda_1=10, \lambda_2=-4, \lambda_3=2, montamos
P = \begin{pmatrix} 0 & 154 & 8\\\\ 0 & 70 & 8\\\\ 1 & -103& -11 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que satisfaz A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

a) Autovalores \lambda_1=10, \lambda_2=-4, \lambda_3=2. Bases dos autoespaços:
E_{10}:\{(0,0,1)\},\quad E_{-4}:\{(154,70,-103)\},\quad E_{2}:\{(8,8,-11)\}.
b) Base de \mathbb{R}^3 por autovetores:
\{(0,0,1),\,(154,70,-103),\,(8,8,-11)\}, com autovalores 10, -4, 2.
c)
P = \begin{pmatrix} 0 & 154 & 8\\\\ 0 & 70 & 8\\\\ 1 & -103& -11 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
de modo que A = P\,D\,P^{-1}.

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