Questão 2 (2.5 pontos):
Seja \mathcal{C} a curva dada pela interseção das superfícies \mathcal{S}_{1} e \mathcal{S}_{2}, onde:
\begin{array}{ll} \mathcal{S}_{1}: & x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=1, \\\ \mathcal{S}_{2}: & x+y=0 \end{array}
(a) Obtenha uma parametrização para a curva \mathcal{C}, \vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t \in[0,2 \pi).
(b) Determine os dois únicos pontos P=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathcal{C} e Q=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in \mathcal{C} para os quais a reta tangente a \mathcal{C} nestes pontos é paralela ao vetor ( 0,0,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathcal{C} como interseção das superfícies
\mathcal{S}_{1}: \; x^{2}+3y^{2}+z^{2}=1,
\mathcal{S}_{2}: \; x+y=0.
As perguntas são:
(a) Obter uma parametrização \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[0,2\pi), para \mathcal{C}.
(b) Determinar os dois únicos pontos P=(x_{0},y_{0},z_{0})\in\mathcal{C} e Q=(x_{1},y_{1},z_{1})\in\mathcal{C} tais que a reta tangente a \mathcal{C} nesses pontos é paralela a (0,0,1).
Informações relevantes dadas:
  • A condição linear x+y=0 permite expressar y em função de x.
  • A equação quadrática relaciona x,y,z numa superfície fechada; substituindo a relação linear obtemos uma curva em x e z.
  • Precisamos também do vetor tangente da parametrização para analisar paralelismo com (0,0,1).

Passo 2

Usamos a equação da superfície \mathcal{S}_{2} para eliminar y. Daqui vem
y = -x.
Vou usar essa relação para substituir na equação de \mathcal{S}_{1}.

Passo 3

Substituindo y=-x em \mathcal{S}_{1}:
x^{2}+3(-x)^{2}+z^{2}=1.
Calculando 3(-x)^{2}=3x^{2}, obtemos
x^{2}+3x^{2}+z^{2}=1,
ou seja
4x^{2}+z^{2}=1.

Passo 4

Agora interpreto \;4x^{2}+z^{2}=1\; como uma elipse no plano xz. Uma maneira padrão e prática de parametrizar uma elipse é tomar
x=a\cos t,\qquad z=b\sin t,
onde a e b são semieixos tal que 4x^{2}+z^{2}=1 vire 4a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t=1 para todos os t. Para igualar \cos^{2}t e \sin^{2}t convenientemente, escolhemos a=\tfrac{1}{2} e b=1. Vou mostrar por que isso funciona.

Passo 5

Escolhendo
x(t)=\tfrac{1}{2}\cos t,\qquad z(t)=\sin t,
temos
4x(t)^{2}+z(t)^{2}=4\left(\tfrac{1}{2}\cos t\right)^{2}+\sin^{2}t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
que satisfaz a equação da elipse. Como y=-x, tomamos
y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos t.
Portanto uma parametrização válida para \mathcal{C} é
\vec{r}(t)=\bigl(\tfrac{1}{2}\cos t,\; -\tfrac{1}{2}\cos t,\; \sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi).
Aqui verifiquei explicitamente que cada ponto dessa curva satisfaz tanto \mathcal{S}_{1} quanto \mathcal{S}_{2}.

Passo 6

Para determinar a direção da reta tangente usamos o vetor derivada \vec{r}\,'(t). Derivo cada componente:
x'(t)= -\tfrac{1}{2}\sin t,\qquad y'(t)= \tfrac{1}{2}\sin t,\qquad z'(t)=\cos t.
Logo
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\sin t,\; \tfrac{1}{2}\sin t,\; \cos t\bigr).
Explicando: \vec{r}\,'(t) aponta na direção tangente à curva para cada t; é o vetor que descreve como o ponto se move quando t varia.

Passo 7

Queremos os pontos onde a reta tangente é paralela a (0,0,1). Critério de paralelismo: dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Como (0,0,1) tem componentes x e y nulas, para \vec{r}\,'(t) ser paralelo a (0,0,1) precisamos que as componentes x e y de \vec{r}\,'(t) sejam zero. Assim impomos:
-\tfrac{1}{2}\sin t = 0,\qquad \tfrac{1}{2}\sin t = 0.
Ambas equivalem a
\sin t = 0.

Passo 8

Resolvo \sin t = 0 em t\in[0,2\pi). As soluções são
t=0\quad\text{e}\quad t=\pi
( t=2\pi é equivalente a t=0 no intervalo dado, então contamos só 0 e \pi ).

Passo 9

Calculo as coordenadas da parametrização nesses valores.
Para t=0:
x(0)=\tfrac{1}{2}\cos 0=\tfrac{1}{2},\qquad y(0)=-\tfrac{1}{2}\cos 0=-\tfrac{1}{2},\qquad z(0)=\sin 0=0.
O vetor tangente é
\vec{r}\,'(0)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr),
que é exatamente paralelo a (0,0,1).
Para t=\pi:
x(\pi)=\tfrac{1}{2}\cos\pi=-\tfrac{1}{2},\qquad y(\pi)=-\tfrac{1}{2}\cos\pi=\tfrac{1}{2},\qquad z(\pi)=\sin\pi=0.
O vetor tangente é
\vec{r}\,'(\pi)=\bigl(0,\;0,\;-1\bigr),
também paralelo a (0,0,1) (apenas com sentido oposto).

Passo 10

Concluímos que existem exatamente dois pontos na curva com reta tangente paralela a (0,0,1), correspondentes a t=0 e t=\pi, e já verifiquei que os vetores tangentes nesses pontos são (0,0,\pm1), portanto o requisito de paralelismo está satisfeito.

Resposta

\vec{r}(t)=\bigl(\tfrac{1}{2}\cos t,\; -\tfrac{1}{2}\cos t,\; \sin t\bigr),\\ t\in[0,2\pi)\n
P=\bigl(\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2},\; 0\bigr)\n
Q=\bigl(-\tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{2},\; 0\bigr)

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