Questão 2 (2.5 pontos):
Seja
a curva dada pela interseção das superfícies
e
, onde:
(a) Obtenha uma parametrização para a curva
.
(b) Determine os dois únicos pontos
e
para os quais a reta tangente a
nestes pontos é paralela ao vetor (
).
Seja
(b) Determine os dois únicos pontos
Passo 1
O enunciado dá a curva
como interseção das superfícies
As perguntas são:
(a) Obter uma parametrização ,
, para
.
(b) Determinar os dois únicos pontos e
tais que a reta tangente a
nesses pontos é paralela a
.
(a) Obter uma parametrização
(b) Determinar os dois únicos pontos
Informações relevantes dadas:
- A condição linear
permite expressar em função de . - A equação quadrática relaciona
numa superfície fechada; substituindo a relação linear obtemos uma curva em e . - Precisamos também do vetor tangente da parametrização para analisar paralelismo com
.
Passo 2
Usamos a equação da superfície
para eliminar
. Daqui vem
Vou usar essa relação para substituir na equação de
.
Passo 3
Substituindo
em
:
Calculando
, obtemos
ou seja
Passo 4
Agora interpreto
como uma elipse no plano
. Uma maneira padrão e prática de parametrizar uma elipse é tomar
onde
e
são semieixos tal que
vire
para todos os
. Para igualar
e
convenientemente, escolhemos
e
. Vou mostrar por que isso funciona.
Passo 5
Escolhendo
temos
que satisfaz a equação da elipse. Como
, tomamos
Portanto uma parametrização válida para
é
Aqui verifiquei explicitamente que cada ponto dessa curva satisfaz tanto
quanto
.
Passo 6
Para determinar a direção da reta tangente usamos o vetor derivada
. Derivo cada componente:
Logo
Explicando:
aponta na direção tangente à curva para cada
; é o vetor que descreve como o ponto se move quando
varia.
Passo 7
Queremos os pontos onde a reta tangente é paralela a
. Critério de paralelismo: dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Como
tem componentes
e
nulas, para
ser paralelo a
precisamos que as componentes
e
de
sejam zero. Assim impomos:
Ambas equivalem a
Passo 8
Resolvo
em
. As soluções são
(
é equivalente a
no intervalo dado, então contamos só
e
).
Passo 9
Calculo as coordenadas da parametrização nesses valores.
Para
:
O vetor tangente é
que é exatamente paralelo a
.
Para
:
O vetor tangente é
também paralelo a
(apenas com sentido oposto).
Passo 10
Concluímos que existem exatamente dois pontos na curva com reta tangente paralela a
, correspondentes a
e
, e já verifiquei que os vetores tangentes nesses pontos são
, portanto o requisito de paralelismo está satisfeito.