Questão 3 (2.5 pontos):
Considere a função
(a) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
(b) De uma equação para o plano tangente ao gráfico de
no ponto (
)
(c) Ache os pontos críticos de
e classifique em ponto sela, máximo local ou mínimo local.
Considere a função
(b) De uma equação para o plano tangente ao gráfico de
(c) Ache os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (ou seja,
e ). - (b) Escrever a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto . - (c) Encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá‑los como ponto de sela, máximo local ou mínimo local.
Informações úteis que temos explicitamente:
Não há outras restrições sobre
(o logaritmo está definido para
, que é sempre verdadeiro).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo. Relembre: a derivada parcial em relação a
trata
como constante, e vice‑versa.
- Derivada parcial em relação a
. Use a regra da cadeia para .
A derivada deem relação a é . Aqui e . Assim
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Podemos fatorar para uma forma mais simples (útil depois):
- Derivada parcial em relação a
. Apenas o termo depende de , cuja derivada é . Assim
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Explico a ideia: derivamos novamente as parciais — por exemplo
,
, etc.
- Calcular
. Partimos da forma fatorada . Usamos a regra do quociente/produto. Aplicando a derivação (faço a conta completa):
escreva o numeradore o denominador . Pela regra do quociente,
Calcule
e
. Substituindo e simplificando obtemos
Portanto
- Calcular
. Como , a derivada em é simples:
- Calcular
(e por simetria ). Note que depende só de , não de . Assim a derivada de em relação a é zero:
Passo 4
(b) Plano tangente no ponto
.
Primeiro calcule
:
A fórmula do plano tangente ao gráfico
em
é
Agora avaliamos as derivadas no ponto
.
Usando as fórmulas:
Usando as fórmulas:
Substituindo na expressão do plano:
Simplificando termos constantes:
Passo 5
(c) Pontos críticos: resolvemos o sistema
.
Temos
que implica
Para
usamos a forma
. Como
para todo
, as soluções vêm de
A segunda condição dá
. Juntando com
, os pontos críticos são
Passo 6
Classificação dos pontos críticos pelo teste das derivadas segundas (teste de Hessiano).
Relembre o teste: para um ponto crítico definimos
Relembre o teste: para um ponto crítico
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui
e
constantes. Vamos avaliar
nas abscissas
.
- Em
:
Então
Como
,
é um ponto de sela.
- Em
:
Então
Como
e
,
é um máximo local.
- Em
:
pela paridade dos polinômios em,
logo
e
. Assim
também é um máximo local.
Resposta
(a)
,\quad
.\
,\quad
,\quad
\
(b) Plano tangente em :
\
(c) Pontos críticos: .\
Classificação: ponto de sela;
máximo local;
máximo local.
(b) Plano tangente em
(c) Pontos críticos:
Classificação: