Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z) através da \sigma, onde \sigma é a porcão da esfera r(u, v)=(2 \operatorname{sen}(u) \cos (v), 2 \operatorname{sen}(u) \operatorname{sen}(v), 2 \cos (u)) \operatorname{com} 0 \leq u \leq \frac{\pi}{3}, 0 \leq v \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (x,y,z)
através da porção de esfera de raio 2 parametrizada por
r(u,v) = \bigl(2\sin(u)\cos(v),\,2\sin(u)\sin(v),\,2\cos(u)\bigr),
com 0 \le u \le \tfrac{\pi}{3} e 0 \le v \le 2\pi.
O conteúdo envolvido é integral de superfície de um campo vetorial, usando a fórmula
\Phi = \iint_{\sigma} F\cdot \bigl(r_u\times r_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes
r_u = \bigl(2\cos(u)\cos(v),\,2\cos(u)\sin(v),\,-2\sin(u)\bigr),
r_v = \bigl(-2\sin(u)\sin(v),\,2\sin(u)\cos(v),\,0\bigr).
O produto vetorial para uma esfera de raio R=2 vale
r_u \times r_v = R^2 \sin(u)\,\mathbf{n} =4\sin(u)\,\mathbf{n},
onde \mathbf{n} é o versor normal externo à esfera.

Passo 3

No ponto de parâmetro (u,v), F\bigl(r(u,v)\bigr)=r(u,v). Logo
F\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr) = r(u,v)\cdot\bigl(4\sin(u)\,\mathbf{n}\bigr) =4\sin(u)\,\bigl\lvert r(u,v)\bigr\rvert =4\sin(u)\cdot2 =8\sin(u).
Dessa forma o fluxo é
\Phi =\int_{v=0}^{2\pi}\!\int_{u=0}^{\pi/3}8\sin(u)\,du\,dv =8\,(2\pi)\int_{0}^{\pi/3}\sin(u)\,du =16\pi\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi/3} =16\pi\bigl(1-\tfrac12\bigr) =8\pi.

Resposta

O fluxo de F através de \sigma é \displaystyle 8\pi.

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