Questão 3 (1,5 pontos). Sejam alpha: 2 x+B y+z+1=0, beta: x+y+z2+D=0 er: x-1=y+2-3=z4.
Determine, se possível:
a) B, tal que alpha e beta sejam paralelos.
b) B, tal que alpha e beta sejam perpendiculpares.
c) D, tal que r subset beta

Passo 1

Estamos com os planos
alpha:2x+B,y+z+1=0
beta:x+y+tfrac z2+D=0
e a reta
r:;x-1=y+2-3= z4.
Para responder (a) e (b) precisamos dos vetores normais
vec nalpha=(2,B,1) e vec nbeta=(1,1,tfrac12).
Planos são paralelos quando vec nalphaparal<=lvec nbeta e perpendiculares quando vec nalphaperpvec nbeta.
Para (c) basta impor que todo ponto de r satisfaça a equação de beta.

Passo 2

Planos paralelos iffvec nalpha=k,vec nbeta.
Isto dá o sistema
2 = kcdot1, B = kcdot1, 1 = kcdottfrac12
Da primeira equação k=2. Então
B = 2 e 1 stackrel!=2cdottfrac12
confere, logo para paralelos B=2.

Passo 3

Planos perpendiculares iffvec nalphacdotvec nbeta=0.
Calculemos o produto escalar:
vec nalphacdotvec nbeta =2cdot1 + Bcdot1 + 1cdottfrac12 =2 + B + tfrac12 = 0
Logo
B = -2 - tfrac12 = -tfrac52

Passo 4

Para achar D tal que rsubsetbeta, parametrize r por t:
x = 1 + t, y = -2 - 3t, z = 4t
Substitua em beta: x+y+tfrac z2 + D=0:
(1+t)+(-2-3t)+tfrac4t2+D =1 -2 + t -3t +2t + D =-1 + D = 0
Daí D=1.

Resposta

a) B=2
b) B=-tfrac52
c) D=1

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