Questão 1: ( 7 pontos) Sejam a, b \in \mathbb{R} e considere um triângulo com vértices em O=(0,0,0), A=(a, b, 1) e B=(1,1,0). Sabe-se que o triângulo é retângulo em O.
a) Calcule sua área em função somente de a.
b) Supondo que sua área seja \sqrt{6} / 2 e que a>0, determine o ponto A.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
O=(0,0,0),\qquad A=(a,b,1),\qquad B=(1,1,0),
com a,b\in\mathbb{R}. Sabe-se que o triângulo é retângulo em O (ou seja, o ângulo em O é reto). As perguntas são:
a) Calcular a área do triângulo em função somente de a.
b) Supondo que a área vale \dfrac{\sqrt{6}}{2} e que a>0, determinar o ponto A.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com vetores posicionais a partir da origem O. O vetor \overrightarrow{OA} é simplesmente as coordenadas de A (subtraindo O):
\overrightarrow{OA}=(a,b,1).
O vetor \overrightarrow{OB} é
\overrightarrow{OB}=(1,1,0).
Agora uma lembrança importante (explicação didática): em \mathbb{R}^3 o produto escalar (ou dot product) de dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Uma propriedade chave: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, o seu produto escalar é zero. Como o triângulo é retângulo em O, os vetores \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} são perpendiculares e devemos ter
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0.

Passo 3

Aplicando o produto escalar aos vetores dados:
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}= (a,b,1)\cdot(1,1,0)=a\cdot1 + b\cdot1 + 1\cdot0 = a+b.
Pela perpendicularidade, a+b=0. Portanto obtemos a relação
b=-a.
Isto já reduz a incógnita b em função de a.

Passo 4

Agora vamos calcular os comprimentos (normas) dos vetores, porque a área de um triângulo retângulo com catetos de comprimentos \ell_1 e \ell_2 é
\text{área}=\frac{1}{2}\,\ell_1\ell_2.á
Explicando a norma: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Calculemos \|\overrightarrow{OB}\| e \|\overrightarrow{OA}\| (substituindo b=-a onde preciso):
Para \overrightarrow{OB}=(1,1,0):
\|\overrightarrow{OB}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Para \overrightarrow{OA}=(a,b,1)=(a,-a,1):
\|\overrightarrow{OA}\|=\sqrt{a^2+(-a)^2+1^2}=\sqrt{a^2+a^2+1}=\sqrt{2a^2+1}.

Passo 5

Usando a fórmula da área do triângulo retângulo (metade do produto dos comprimentos dos catetos):
\text{área}=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{OA}\|\,\|\overrightarrow{OB}\| =\frac{1}{2}\,\sqrt{2a^2+1}\,\sqrt{2}.á
Multiplicando as raízes:
\text{área}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{2a^2+1}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+2}.á
Essa é a área expressa somente em função de a, que responde a letra (a).

Passo 6

Agora a letra (b): impõe-se que a área vale \dfrac{\sqrt{6}}{2} e que a>0. Igualamos:
\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
\sqrt{4a^2+2}=\sqrt{6}.
Elevando ao quadrado (os dois lados são não negativos, logo operação segura):
4a^2+2=6.
Subtraindo 2 e dividindo por 4:
4a^2=4\quad\Rightarrow\quad a^2=1.
Como foi dado a>0, concluímos a=1. Usando b=-a (do passo 3) segue b=-1.
Podemos fazer uma checagem rápida (opcional): com a=1 temos \|\overrightarrow{OA}\|=\sqrt{2\cdot1^2+1}=\sqrt{3} e \|\overrightarrow{OB}\|=\sqrt{2}, então a área é \tfrac{1}{2}\sqrt{3}\sqrt{2}=\tfrac{\sqrt{6}}{2}, conforme exigido, e \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1+(-1)+0=0, confirmando perpendicularidade.

Resposta

\displaystyle \text{(a) } \text{área}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4a^{2}+2}.á
\displaystyle \text{(b) } A=(1,-1,1).

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