Questão 1: ( 7 pontos) Sejam a, b \in \mathbb{R} e considere um triângulo com vértices em O=(0,0,0), A=(a, b, 1) e B=(1,1,0). Sabe-se que o triângulo é retângulo em O.
a) Calcule sua área em função somente de a.
b) Supondo que sua área seja \sqrt{6} / 2 e que a>0, determine o ponto A.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
O=(0,0,0),\qquad A=(a,b,1),\qquad B=(1,1,0),
com a,b\in\mathbb{R}. Sabe-se que o triângulo é retângulo em O (ou seja, o ângulo em O é reto). As perguntas são:
a) Calcular a área do triângulo em função somente de a.
b) Supondo que a área vale \dfrac{\sqrt{6}}{2} e que a>0, determinar o ponto A.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com vetores posicionais a partir da origem O. O vetor \overrightarrow{OA} é simplesmente as coordenadas de A (subtraindo O):
\overrightarrow{OA}=(a,b,1).
O vetor \overrightarrow{OB} é
\overrightarrow{OB}=(1,1,0).
Agora uma lembrança importante (explicação didática): em \mathbb{R}^3 o produto escalar (ou dot product) de dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Uma propriedade chave: dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se, e somente se, o seu produto escalar é zero. Como o triângulo é retângulo em O, os vetores \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} são perpendiculares e devemos ter
Essa é a área expressa somente em função de a, que responde a letra (a).
Passo 6
Agora a letra (b): impõe-se que a área vale \dfrac{\sqrt{6}}{2} e que a>0. Igualamos:
\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
\sqrt{4a^2+2}=\sqrt{6}.
Elevando ao quadrado (os dois lados são não negativos, logo operação segura):
4a^2+2=6.
Subtraindo 2 e dividindo por 4:
4a^2=4\quad\Rightarrow\quad a^2=1.
Como foi dado a>0, concluímos a=1. Usando b=-a (do passo 3) segue b=-1.
Podemos fazer uma checagem rápida (opcional): com a=1 temos \|\overrightarrow{OA}\|=\sqrt{2\cdot1^2+1}=\sqrt{3} e \|\overrightarrow{OB}\|=\sqrt{2}, então a área é \tfrac{1}{2}\sqrt{3}\sqrt{2}=\tfrac{\sqrt{6}}{2}, conforme exigido, e \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1+(-1)+0=0, confirmando perpendicularidade.