Seja
definida por
Determine o núcleo e a imagem.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que se pede:
- Determinar o núcleo de
, isto é, o conjunto . - Determinar a imagem de
, isto é, o conjunto .
Informações úteis que vieram do enunciado e que vamos usar:
-
é o espaço de polinômios com grau no máximo . Um polinômio genérico em pode ser escrito como , com . - A derivada de
é .
Passo 2
Definição do núcleo e aplicação ao caso concreto.
O núcleo de
é
onde
é o polinômio zero (o polinômio que vale
para todo
).
Pegando o polinômio genérico
(com
), sua derivada é
Queremos
para todo
. Isso significa que o polinômio
deve ser o polinômio zero. Um polinômio é o polinômio zero exatamente quando todos os seus coeficientes são zero. Portanto devemos ter
Dessas igualdades segue
e
. Assim
, com
arbitrário. Logo o núcleo é o conjunto dos polinômios constantes.
Em linguagem de subespaços:
Passo 3
Determinação da imagem usando uma base e imagens de vetores-base.
Uma base natural de
é
. Vamos aplicar
a cada um desses vetores:
Portanto as imagens geram o subespaço
O subespaço
é exatamente o espaço
dos polinômios de grau no máximo
. Assim
Passo 4
Verificação alternativa e comentário prático (como fazer na prova).
Outra forma direta: dado um polinômio
em
, um primitivo (antiderivada) é
onde
é arbitrário. Então
Isso mostra que todo polinômio de grau
é realmente imagem de algum polinômio em
, ou seja,
. A não unicidade do primitivo (o parâmetro
) está relacionada com o fato de que
contém constantes: se
é uma primitiva, então
também o é, para qualquer constante
.
Passo 5
Checagem por dimensão (teorema do posto-nuloidade) — útil para confirmar rapidamente.
Sabendo que
e que
(já vimos que é o espaço das constantes), o teorema do posto-nuloidade dá
Como
tem dimensão
, isso confirma que
.