Seja T: P_{2} \rightarrow P_{2} definida por
T(p(x))=p^{\prime}(x) .
Determine o núcleo e a imagem.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}\to P_{2} definida por
T(p(x)) = p'(x).
O que se pede:
  • Determinar o núcleo de T, isto é, o conjunto \{p\in P_{2} \mid T(p)=0\}.
  • Determinar a imagem de T, isto é, o conjunto \{T(p) \mid p\in P_{2}\}.
Informações úteis que vieram do enunciado e que vamos usar:
  • P_{2} é o espaço de polinômios com grau no máximo 2. Um polinômio genérico em P_{2} pode ser escrito como \displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c, com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A derivada de \displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c é \displaystyle p'(x)=2ax+b.

Passo 2

Definição do núcleo e aplicação ao caso concreto.
O núcleo de T é
\ker(T)=\{p\in P_{2}\mid T(p)=0\},
onde 0 é o polinômio zero (o polinômio que vale 0 para todo x).
Pegando o polinômio genérico \displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c (com a,b,c\in\mathbb{R}), sua derivada é
p'(x)=2ax+b.
Queremos p'(x)=0 para todo x. Isso significa que o polinômio 2ax+b deve ser o polinômio zero. Um polinômio é o polinômio zero exatamente quando todos os seus coeficientes são zero. Portanto devemos ter
2a=0\quad\text{e}\quad b=0.
Dessas igualdades segue a=0 e b=0. Assim p(x)=c, com c\in\mathbb{R} arbitrário. Logo o núcleo é o conjunto dos polinômios constantes.
Em linguagem de subespaços:
\ker(T)=\{c\mid c\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{1\}.

Passo 3

Determinação da imagem usando uma base e imagens de vetores-base.
Uma base natural de P_{2} é \{1,x,x^{2}\}. Vamos aplicar T a cada um desses vetores:
T(1)=0, \qquad T(x)=1, \qquad T(x^{2})=2x.
Portanto as imagens geram o subespaço
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{\,1,\,x\,\}.
O subespaço \operatorname{span}\{1,x\} é exatamente o espaço P_{1} dos polinômios de grau no máximo 1. Assim
\operatorname{Im}(T)=P_{1}=\{ \alpha x+\beta \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Verificação alternativa e comentário prático (como fazer na prova).
Outra forma direta: dado um polinômio \displaystyle q(x)=\alpha x+\beta em P_{1}, um primitivo (antiderivada) é
p(x)=\frac{\alpha}{2}x^{2}+\beta x+\gamma,
onde \gamma\in\mathbb{R} é arbitrário. Então
p'(x)=\alpha x+\beta=q(x).
Isso mostra que todo polinômio de grau \le1 é realmente imagem de algum polinômio em P_{2}, ou seja, \operatorname{Im}(T)=P_{1}. A não unicidade do primitivo (o parâmetro \gamma) está relacionada com o fato de que \ker(T) contém constantes: se p é uma primitiva, então p+c também o é, para qualquer constante c.

Passo 5

Checagem por dimensão (teorema do posto-nuloidade) — útil para confirmar rapidamente.
Sabendo que \dim P_{2}=3 e que \dim\ker(T)=1 (já vimos que é o espaço das constantes), o teorema do posto-nuloidade dá
\dim\operatorname{Im}(T)=\dim P_{2}-\dim\ker(T)=3-1=2.
Como P_{1} tem dimensão 2, isso confirma que \operatorname{Im}(T)=P_{1}.

Resposta

\ker(T)=\{\,c\mid c\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{1\}
\operatorname{Im}(T)=P_{1}=\{\,\alpha x+\beta\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}

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