Determine o núcleo de
T(x, y, z)=(x-y, y-z)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(x-y,\;y-z).
O que nos pedem é: determinar o núcleo de T. Ou seja, encontrar o conjunto de todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que são levados pelo operador T ao vetor zero em \mathbb{R}^2.
Informações relevantes dadas:
  • A regra de T é T(x,y,z)=(x-y,\;y-z).
  • O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0).
  • Portanto, precisamos resolver as equações que tornam T(x,y,z)=(0,0).

Passo 2

Definição prática do núcleo: o núcleo (ou nullspace) de T é
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Isso significa que devemos resolver o sistema obtido impondo T(x,y,z)=(0,0). Escrevendo explicitamente:
(x-y,\;y-z)=(0,0).
Isto gera o sistema de duas equações:
\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] y-z=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema passo a passo:
  • A primeira equação x-y=0 implica que x=y.
  • A segunda equação y-z=0 implica que y=z.
Juntando as duas conclusões temos x=y e y=z, portanto x=y=z.

Passo 4

Parametrização da solução: se x=y=z, podemos escrever x=y=z=t para algum parâmetro t\in\mathbb{R}. Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(t,t,t)=t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação e verificação:
  • A descrição anterior mostra que o núcleo é a reta que passa pela origem e tem direção (1,1,1), isto é, é um subespaço unidimensional.
  • Verificação direta: para qualquer t\in\mathbb{R},
T(t,t,t)=(t-t,\;t-t)=(0,0),
logo t(1,1,1)\in\ker(T). E já demonstramos que não há outros vetores no núcleo além desses.

Resposta

\ker(T)=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}

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