Determine o núcleo de
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem é: determinar o núcleo de
. Ou seja, encontrar o conjunto de todos os vetores
que são levados pelo operador
ao vetor zero em
.
Informações relevantes dadas:
- A regra de
é . - O vetor zero em
é . - Portanto, precisamos resolver as equações que tornam
.
Passo 2
Definição prática do núcleo: o núcleo (ou nullspace) de
é
Isso significa que devemos resolver o sistema obtido impondo
. Escrevendo explicitamente:
Isto gera o sistema de duas equações:
Passo 3
Resolver o sistema passo a passo:
- A primeira equação
implica que . - A segunda equação
implica que .
Juntando as duas conclusões temos
e
, portanto
.
Passo 4
Parametrização da solução: se
, podemos escrever
para algum parâmetro
. Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
Passo 5
Interpretação e verificação:
- A descrição anterior mostra que o núcleo é a reta que passa pela origem e tem direção
, isto é, é um subespaço unidimensional. - Verificação direta: para qualquer
,
logo
. E já demonstramos que não há outros vetores no núcleo além desses.