Questão 2. (2.5 pontos) Calcule a integral dupla \iint\left(1-y^{4}\right) \frac{y}{x^{9}} d \Omega sobre o domínio \Omega, localizado no 2^{0} quadrante e limitado pelas curvas x^{2}+y^{2}=1,2 x^{2}+y^{2}=1, y=x^{2} e y=2 x^{2}.
Resumo das informações fornecidas e do que é pedido:
A integral é sobre a região \Omega no segundo quadrante (portanto x<0 e y\ge0).
As quatro curvas delimitantes são duas “elipses” centradas na origem (na verdade círculos/elipses escritas em coordenadas cartesianas) e duas parábolas que abrem para cima.
É preciso calcular explicitamente o valor numérico da integral dupla.
Não há pedido de método específico, então escolherei um método conveniente para aproveitar as curvas y=kx^{2} presentes no enunciado.
Passo 2
Motivação da mudança de variáveis e definição dela (explicação didática).
Repare que as parábolas são y=x^{2} e y=2x^{2}. Isso sugere usar s=x^{2} como uma das novas variáveis (pois então essas parábolas viram retas simples em (s,y)-plano).
Uma escolha natural e simples é a transformação
s = x^{2},\qquad t = y.
Essa transformação é injetora na parte do plano em que fixamos o sinal de x (aqui, x\le0). Como estamos no segundo quadrante, tomamos a folha com x=-\sqrt{s} (ou seja, cada s\ge0 corresponde a exatamente um x\le0).
Agora vamos transformar a integral e calcular o jacobiano com cuidado.
Passo 3
Cálculo do jacobiano e substituição da diferencial de área.
Partimos de s=x^{2} e t=y. Diferenciando s obtemos ds=2x\,dx, então
dx = \frac{ds}{2x}.
Como t=y temos dy=dt. Portanto a diferencial de área transforma-se como
dx\,dy = \frac{ds}{2x}\,dt.
No integrando aparece x^{9} no denominador; ao multiplicar pela diferencial teremos termos em potências de x que podem ser reescritas usando s=x^{2}. Observe que x^{10}=(x^{2})^{5}=s^{5}. Vamos reescrever o integrando:
Portanto, na nova variável (s,t) o integrando fica simples em termos de s^{-5} e t:
\frac{1}{2}\,(1-t^{4})\,t\,s^{-5}.
Passo 4
Descrição do domínio \Omega em coordenadas (s,t) (ou seja, transformando cada curva).
A parábola y=x^{2} vira t=s.
A parábola y=2x^{2} vira t=2s.
A curva x^{2}+y^{2}=1 vira s+t^{2}=1, ou seja s=1-t^{2}.
A curva 2x^{2}+y^{2}=1 vira 2s+t^{2}=1, ou seja s=(1-t^{2})/2.
Logo, no plano (s,t) a região \Omega é a que está entre as retas t=s e t=2s e, ao mesmo tempo, entre as curvas s=(1-t^{2})/2 (mais interna) e s=1-t^{2} (mais externa). Além disso t\ge0 e s\ge0.
Para fixar os limites de integração precisamos ver, para cada t, qual é o intervalo de s que satisfaz as duas condições. Para um dado t válido, s deve satisfazer simultaneamente
Determinar os intervalos em t em que as fórmulas para os limites de s mudam (pontos de quebra).
Devemos comparar as funções em jogo para saber qual é o máximo/minimo em cada faixa de t. As igualdades críticas aparecem quando duas dessas curvas se intersectam:
Resolver \dfrac{1-t^{2}}{2}=\dfrac{t}{2} dá
1-t^{2}=t\quad\Longrightarrow\quad t^{2}+t-1=0
a raiz positiva é
t_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618034\ldots
Resolver \dfrac{1-t^{2}}{2}=t dá
1-t^{2}=2t\quad\Longrightarrow\quad t^{2}+2t-1=0
a raiz positiva é
t_{1}=-1+\sqrt{2}\approx0,41421356\ldots
Resolver \dfrac{t}{2}=1-t^{2} dá
t^{2}+\tfrac{t}{2}-1=0
a raiz positiva é
t_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\approx0,780776\ldots
Tendo esses valores, percebe-se que a região em t não existe para t<t_{1} (pois então os intervalos não se sobrepõem). Para t entre t_{1} e t_{2} o máximo inferior é (1-t^{2})/2 e o mínimo superior é t. Para t entre t_{2} e t_{3} o máximo inferior é t/2 e o mínimo superior é 1-t^{2}. Para t>t_{3} não há interseção válida. Em resumo:
Para t\in[t_{1},\,t_{2}]: s varia de s=(1-t^{2})/2 até s=t.
Para t\in[t_{2},\,t_{3}]: s varia de s=t/2 até s=1-t^{2}.
Onde, explicitamente,
Aplicando isso, a integral interna fornece um fator comum \dfrac{1}{2}(1-t^{4})t multiplicando a diferença \left(-\tfrac{1}{4}\right)\big(s^{-4}\big)\big|_{s=a}^{s=b}. Logo podemos escrever a integral em t explicitamente.
Passo 7
Calcular a integral interna em s e simplificar o integrando em t.
Fazendo a integral em s:
Avaliar as integrais definidas usando as primitivas e os pontos críticos t_{1},t_{2},t_{3}.
Agora substituímos nas expressões de g_{1},g_{2} usando as primitivas:
Para I_{B}, usando I_{B}(t)=-\tfrac{1}{2}(t^{-2}+t^{2}), obtém-se:
I_{B}(t_{1})=-3.
I_{B}(t_{2})=-\tfrac{3}{2}.
I_{B}(t_{3})=-\tfrac{9}{8}.
(Esses valores foram obtidos por álgebra direta ao substituir as expressões exatas dos t_{i} e simplificar; os termos irracionais cancelam de forma conveniente.)
Passo 10
Somar as contribuições e obter o valor final.
Usando os valores encontrados: