Questão 2. (2.5 pontos) Calcule a integral dupla \iint\left(1-y^{4}\right) \frac{y}{x^{9}} d \Omega sobre o domínio \Omega, localizado no 2^{0} quadrante e limitado pelas curvas x^{2}+y^{2}=1,2 x^{2}+y^{2}=1, y=x^{2} e y=2 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{\Omega}\left(1-y^{4}\right)\frac{y}{x^{9}}\,d\Omega,
onde o domínio \Omega está no 2^{\circ} quadrante (ou seja, x\le 0,\\ y\ge 0) e é limitado pelas curvas
x^{2}+y^{2}=1,\quad 2x^{2}+y^{2}=1,\quad y=x^{2},\quad y=2x^{2}.
Resumo das informações fornecidas e do que é pedido:
  • A integral é sobre a região \Omega no segundo quadrante (portanto x<0 e y\ge0).
  • As quatro curvas delimitantes são duas “elipses” centradas na origem (na verdade círculos/elipses escritas em coordenadas cartesianas) e duas parábolas que abrem para cima.
  • É preciso calcular explicitamente o valor numérico da integral dupla.
  • Não há pedido de método específico, então escolherei um método conveniente para aproveitar as curvas y=kx^{2} presentes no enunciado.

Passo 2

Motivação da mudança de variáveis e definição dela (explicação didática).
  • Repare que as parábolas são y=x^{2} e y=2x^{2}. Isso sugere usar s=x^{2} como uma das novas variáveis (pois então essas parábolas viram retas simples em (s,y)-plano).
  • Uma escolha natural e simples é a transformação
s = x^{2},\qquad t = y.
Essa transformação é injetora na parte do plano em que fixamos o sinal de x (aqui, x\le0). Como estamos no segundo quadrante, tomamos a folha com x=-\sqrt{s} (ou seja, cada s\ge0 corresponde a exatamente um x\le0).
Agora vamos transformar a integral e calcular o jacobiano com cuidado.

Passo 3

Cálculo do jacobiano e substituição da diferencial de área.
  • Partimos de s=x^{2} e t=y. Diferenciando s obtemos ds=2x\,dx, então
dx = \frac{ds}{2x}.
Como t=y temos dy=dt. Portanto a diferencial de área transforma-se como
dx\,dy = \frac{ds}{2x}\,dt.
No integrando aparece x^{9} no denominador; ao multiplicar pela diferencial teremos termos em potências de x que podem ser reescritas usando s=x^{2}. Observe que x^{10}=(x^{2})^{5}=s^{5}. Vamos reescrever o integrando:
\left(1-y^{4}\right)\frac{y}{x^{9}}\,dx\,dy = \left(1-t^{4}\right)\frac{t}{x^{9}}\cdot\frac{ds}{2x}\,dt = \frac{1}{2}\left(1-t^{4}\right)t\frac{ds\,dt}{x^{10}} = \frac{1}{2}\left(1-t^{4}\right)t\frac{ds\,dt}{s^{5}}.
Portanto, na nova variável (s,t) o integrando fica simples em termos de s^{-5} e t:
\frac{1}{2}\,(1-t^{4})\,t\,s^{-5}.

Passo 4

Descrição do domínio \Omega em coordenadas (s,t) (ou seja, transformando cada curva).
  • A parábola y=x^{2} vira t=s.
  • A parábola y=2x^{2} vira t=2s.
  • A curva x^{2}+y^{2}=1 vira s+t^{2}=1, ou seja s=1-t^{2}.
  • A curva 2x^{2}+y^{2}=1 vira 2s+t^{2}=1, ou seja s=(1-t^{2})/2.
Logo, no plano (s,t) a região \Omega é a que está entre as retas t=s e t=2s e, ao mesmo tempo, entre as curvas s=(1-t^{2})/2 (mais interna) e s=1-t^{2} (mais externa). Além disso t\ge0 e s\ge0.
Para fixar os limites de integração precisamos ver, para cada t, qual é o intervalo de s que satisfaz as duas condições. Para um dado t válido, s deve satisfazer simultaneamente
\frac{1-t^{2}}{2}\le s\le 1-t^{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{t}{2}\le s\le t,
pois t=2s s=t/2 e t=s s=t. Portanto, para cada t admissível, o intervalo de s é
s\in\big[\max\!\big(\tfrac{1-t^{2}}{2},\tfrac{t}{2}\big),\\ \min\!\big(1-t^{2},\,t\big)\big].

Passo 5

Determinar os intervalos em t em que as fórmulas para os limites de s mudam (pontos de quebra).
Devemos comparar as funções em jogo para saber qual é o máximo/minimo em cada faixa de t. As igualdades críticas aparecem quando duas dessas curvas se intersectam:
  • Resolver \dfrac{1-t^{2}}{2}=\dfrac{t}{2}
1-t^{2}=t\quad\Longrightarrow\quad t^{2}+t-1=0
a raiz positiva é
t_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618034\ldots
  • Resolver \dfrac{1-t^{2}}{2}=t
1-t^{2}=2t\quad\Longrightarrow\quad t^{2}+2t-1=0
a raiz positiva é
t_{1}=-1+\sqrt{2}\approx0,41421356\ldots
  • Resolver \dfrac{t}{2}=1-t^{2}
t^{2}+\tfrac{t}{2}-1=0
a raiz positiva é
t_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\approx0,780776\ldots
Tendo esses valores, percebe-se que a região em t não existe para t<t_{1} (pois então os intervalos não se sobrepõem). Para t entre t_{1} e t_{2} o máximo inferior é (1-t^{2})/2 e o mínimo superior é t. Para t entre t_{2} e t_{3} o máximo inferior é t/2 e o mínimo superior é 1-t^{2}. Para t>t_{3} não há interseção válida. Em resumo:
  • Para t\in[t_{1},\,t_{2}]: s varia de s=(1-t^{2})/2 até s=t.
  • Para t\in[t_{2},\,t_{3}]: s varia de s=t/2 até s=1-t^{2}.
    Onde, explicitamente,
t_{1}=-1+\sqrt{2},\qquad t_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\qquad t_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.

Passo 6

Escrever a integral nas novas variáveis, com os limites determinados.
A integral transforma-se em
\iint_{\Omega}\left(1-y^{4}\right)\frac{y}{x^{9}}\,d\Omega = \int_{t=t_{1}}^{t_{2}}\int_{s=\frac{1-t^{2}}{2}}^{s=t}\frac{1}{2}(1-t^{4})\,t\,s^{-5}\,ds\,dt \;+\; \int_{t=t_{2}}^{t_{3}}\int_{s=\frac{t}{2}}^{s=1-t^{2}}\frac{1}{2}(1-t^{4})\,t\,s^{-5}\,ds\,dt.
Para simplificar a escrita: vamos calcular a integral interna em s primeiro. A integral em s de s^{-5} é elementar:
\int s^{-5}\,ds = \left[ -\frac{1}{4}s^{-4}\right].
Aplicando isso, a integral interna fornece um fator comum \dfrac{1}{2}(1-t^{4})t multiplicando a diferença \left(-\tfrac{1}{4}\right)\big(s^{-4}\big)\big|_{s=a}^{s=b}. Logo podemos escrever a integral em t explicitamente.

Passo 7

Calcular a integral interna em s e simplificar o integrando em t.
Fazendo a integral em s:
\int_{a}^{b}\frac{1}{2}(1-t^{4})\,t\,s^{-5}\,ds = \frac{1}{2}(1-t^{4})\,t\left[-\frac{1}{4}s^{-4}\right]_{s=a}^{s=b} = \frac{1}{8}(1-t^{4})\,t\big(a^{-4}-b^{-4}\big).
Agora aplique isso aos dois trechos:
  • Para t\in[t_{1},t_{2}]: a=(1-t^{2})/2,\\ b=t. Então
a^{-4}=16(1-t^{2})^{-4},\qquad b^{-4}=t^{-4},
e a contribuição é
g_{1}(t)=\frac{1}{8}(1-t^{4})\,t\big(16(1-t^{2})^{-4}-t^{-4}\big) =2(1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}-\frac{1}{8}(1-t^{4})t^{-3}.
  • Para t\in[t_{2},t_{3}]: a=t/2,\\ b=1-t^{2}. Então
a^{-4}=16\,t^{-4},\qquad b^{-4}=(1-t^{2})^{-4},
e a contribuição é
g_{2}(t)=\frac{1}{8}(1-t^{4})\,t\big(16t^{-4}-(1-t^{2})^{-4}\big) =2(1-t^{4})t^{-3}-\frac{1}{8}(1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}.
A integral total é
I=\int_{t_{1}}^{t_{2}} g_{1}(t)\,dt+\int_{t_{2}}^{t_{3}} g_{2}(t)\,dt.

Passo 8

Simplificação das primitivas necessárias (aulas rápidas sobre integrais usadas).
Vamos preparar antiderivadas que aparecem em g_{1} e g_{2}.
  1. Para a parte com (1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}:
Note que 1-t^{4}=(1-t^{2})(1+t^{2}). Então
(1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}=(1+t^{2})t(1-t^{2})^{-3}.
Faça a substituição u=1-t^{2}. Então du=-2t\,dt ( \Rightarrow t\,dt = -\tfrac{1}{2}du), e 1+t^{2}=2-u. Assim
\int (1+t^{2})t(1-t^{2})^{-3}\,dt = \int (2-u)\,u^{-3}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\big(u^{-2}-u^{-1}\big)+C.
Reescrevendo em t, como u=1-t^{2}, obtemos a primitiva importante
\int (1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}\,dt = \frac{t^{2}}{2(1-t^{2})^{2}} + C.
(uma forma mais direta: ao final a primitiva simplifica para \dfrac{t^{2}}{2(1-t^{2})^{2}}; se quiser, pode verificar derivando.)
  1. Para a parte com (1-t^{4})t^{-3}:
Escreva (1-t^{4})t^{-3} = t^{-3} - t. Então
\int (t^{-3}-t)\,dt = -\frac{1}{2}t^{-2} - \frac{1}{2}t^{2} + C = -\frac{1}{2}\!\big(t^{-2}+t^{2}\big)+C.
Portanto as primitivas que usaremos são
I_{A}(t):=\int (1-t^{4})t(1-t^{2})^{-4}\,dt=\frac{t^{2}}{2(1-t^{2})^{2}}+C,
I_{B}(t):=\int (1-t^{4})t^{-3}\,dt=-\frac{1}{2}\big(t^{-2}+t^{2}\big)+C.

Passo 9

Avaliar as integrais definidas usando as primitivas e os pontos críticos t_{1},t_{2},t_{3}.
Agora substituímos nas expressões de g_{1},g_{2} usando as primitivas:
  • Para o primeiro trecho:
\int_{t_{1}}^{t_{2}} g_{1}(t)\,dt = 2\big[I_{A}(t)\big]_{t_{1}}^{t_{2}} \;-\; \frac{1}{8}\big[I_{B}(t)\big]_{t_{1}}^{t_{2}}.
  • Para o segundo trecho:
\int_{t_{2}}^{t_{3}} g_{2}(t)\,dt = 2\big[I_{B}(t)\big]_{t_{2}}^{t_{3}} \;-\; \frac{1}{8}\big[I_{A}(t)\big]_{t_{2}}^{t_{3}}.
Assim a integral total é a soma desses dois resultados.
Agora vamos avaliar I_{A} e I_{B} nos pontos t_{1},t_{2},t_{3}. Para facilitar, calculemos alguns termos auxiliares exactos.
  • Lembrando:
t_{1}=-1+\sqrt{2},\quad t_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\quad t_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.
Definindo u=1-t^{2}, nota-se uma grande simplificação: para I_{A}
I_{A}(t)=\frac{t^{2}}{2(1-t^{2})^{2}}=\frac{t^{2}}{2u^{2}}.
Calculando explicitamente (os cálculos algébricos telescopam):
  • I_{A}(t_{1})=\dfrac{1}{8}.
  • I_{A}(t_{2})=\dfrac{1}{2}.
  • I_{A}(t_{3})=2.
Para I_{B}, usando I_{B}(t)=-\tfrac{1}{2}(t^{-2}+t^{2}), obtém-se:
  • I_{B}(t_{1})=-3.
  • I_{B}(t_{2})=-\tfrac{3}{2}.
  • I_{B}(t_{3})=-\tfrac{9}{8}.
(Esses valores foram obtidos por álgebra direta ao substituir as expressões exatas dos t_{i} e simplificar; os termos irracionais cancelam de forma conveniente.)

Passo 10

Somar as contribuições e obter o valor final.
Usando os valores encontrados:
Primeiro trecho:
2\big[I_{A}(t_{2})-I_{A}(t_{1})\big]-\frac{1}{8}\big[I_{B}(t_{2})-I_{B}(t_{1})\big] =2\Big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}\Big)-\frac{1}{8}\Big(-\tfrac{3}{2}-(-3)\Big) = \tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{16}.
Segundo trecho:
2\big[I_{B}(t_{3})-I_{B}(t_{2})\big]-\frac{1}{8}\big[I_{A}(t_{3})-I_{A}(t_{2})\big] =2\Big(-\tfrac{9}{8}+\tfrac{3}{2}\Big)-\frac{1}{8}\Big(2-\tfrac{1}{2}\Big) = \tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{16}.
Somando os dois trechos:
I=\Big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{16}\Big)+\Big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{16}\Big) = \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{8} = \tfrac{9}{8}.

Resposta

\dfrac{9}{8}

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