QUESTÃO 4 (2,0 Pontos). Sendo p1=2 x^2-x+1, p2=-x^2+x e p3=x^2 vetores de P2 (espaço vetorial dos vetores reais de grau menor ou igual a 2 ), mostre que o conjunto F=p1, p2, p3 é uma base de P2. Represente o vetor p4=7 x^2-2 x+4 através de suas coordenadas na base F.

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios
,p1(x)=2x^2-x+1, p2(x)=-x^2+x, p3(x)=x^2,
no espaço vetorial P2 (polinômios reais de grau <=2) e pede dois itens:
1. Mostrar que F=p1,p2,p3 é base de P2.
2. Expressar p4(x)=7x^2-2x+4 nas coordenadas de F.
Para isso vamos usar independência linear e dimensão de P2 e depois resolver um sistema linear por comparação de coeficientes.

Passo 2

Para ver que
Escrevendo em forma de coeficientes de , temos
Igualando coeficientes a zero gera o sistema
Da terceira equação segue , e daí . Logo só há solução trivial, e são linearly independent.

Passo 3

Como dim P2=3 e já temos três vetores independentes, concluímos que F é base de P2.

Passo 4

Queremos
Deixando como antes o lado esquerdo em coeficientes, obtemos o sistema
Da última equação . Finalmente, em temos .

Resposta

As coordenadas de p4 na base F são
(alpha,beta,gamma)=(4,,2,,1)

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