QUESTÃO 4 (2,0 Pontos). Sendo e vetores de (espaço vetorial dos vetores reais de grau menor ou igual a 2 ), mostre que o conjunto é uma base de . Represente o vetor através de suas coordenadas na base .
Passo 1
O enunciado nos dá os polinômios
no espaço vetorial (polinômios reais de grau ) e pede dois itens: . Mostrar que é base de . . Expressar nas coordenadas de .
Para isso vamos usar independência linear e dimensão de e depois resolver um sistema linear por comparação de coeficientes.
Passo 2
Para ver que
Escrevendo em forma de coeficientes de , temos
Igualando coeficientes a zero gera o sistema
Da terceira equação segue dá , e daí dá . Logo só há solução trivial, e são linearly independent.
Passo 3
Como dim P2=3 e já temos três vetores independentes, concluímos que F é base de P2.
Passo 4
Queremos
Deixando como antes o lado esquerdo em coeficientes, obtemos o sistema