(Questão 3) [2,00] Sejam E=(e1, e2, e3), F=(f1, f2, f3), G=(g1, g2, g3) bases, com
& f1=e1-e3 & f2=3 e1 & f3=4 e1-3 e2
& g1=e1+e2+e3 & g2=e1+e2 & g3=e1
Sendo v=-4 f1+f2-f3 ache v em função de g1, g2, g3.

Passo 1

O enunciado dá três bases do espaço vetorial R^3:
E=(e1,e2,e3), F=(f1,f2,f3), G=(g1,g2,g3),
com cada fi e gi dados em função de ej. Pede-se a expressão de
v=-4,f1+f2-f3
na base G. Vamos primeiro achar as coordenadas de v na base E e depois resolver a mudança de base para G.

Passo 2

Substituímos as definições de fi em v. Como
f1&=e1-e3, f2&=3,e1, f3&=4,e1-3,e2,
temos
v &=-4(e1-e3) +3,e1 -l(4,e1-3,e2r) &=(-4+3-4),e1+3,e2+4,e3 &=-5,e1+3,e2+4,e3
Logo, as coordenadas de v em E são l(-5,3,4r).

Passo 3

Queremos
sabendo que
Logo
Comparando com , obtemos o sistema
Da terceira equação vem . Finalmente, da primeira, .

Resposta

v=4,g1-,g2-8,g3

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