a) Prove que
(|\vec{u} \wedge \vec{v}|^{2}+(\vec{u} \cdot \vec{v}){2}=|\vec{u}|{2}|\vec{v}|^{2}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores vec u,vec vin R^3, vale
|vec uwed>=vec v|^2+(vec ucdotvec v)^2=|vec u|^2,|vec v|^2
Vamos usar as formas geométricas do produto escalar e do produto vetorial:
vec ucdotvec v=|vec u||vec v|costheta e
|vec uwed>=vec v|=|vec u||vec v|sintheta,
onde theta é o ângulo entre vec u e vec v.

Passo 2

Escrevendo cada termo ao quadrado, temos
(vec ucdotvec v)^2 =l(|vec u||vec v|costhetar)^2 =|vec u|^2,|vec v|^2cos^2theta
e
|vec uwed>=vec v|^2 =l(|vec u||vec v|sinthetar)^2 =|vec u|^2,|vec v|^2sin^2theta

Passo 3

Somando essas duas expressões, obtemos
|vec uwed>=vec v|^2+(vec ucdotvec v)^2 =|vec u|^2|vec v|^2l(sin^2theta+cos^2thetar) =|vec u|^2|vec v|^2cdot1 =|vec u|^2|vec v|^2

Resposta

Foi provado que
|vec uwed>=vec v|^2+(vec ucdotvec v)^2 =|vec u|^2|vec v|^2

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