QUESTÃO 6 (2,0 Pontos). Considere uma transformação linear U: R^3 R^2 definida por U(x, y, z)= (2 x+y, y-z).
A. Obtenha N(U), núcleo da transformação U e Im(U), a imagem da transformação U.
B. Obtenha [U], a matriz canônica da transformação U.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Ucolon R^3toR^2 definida por
U(x,y,z)=(2x+y,;y-z)
O que precisamos é (A) determinar o núcleo N(U)=ker(U) e a imagem Im(U) e (B) escrever a matriz canônica [U] relativa às bases-padrão de R^3 e R^2.

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos U(x,y,z)=(0,0). Assim,
2x+y=0,
y-z=0
Da segunda equação segue z=y. Substituindo na primeira, temos 2x+y=0, ou seja, x=-tfracy2. Logo, podemos tomar y=t como parâmetro, obtendo
(x,y,z)=l(-tfract2,,t,,tr)=tl(-tfrac12,1,1r)
Para ter coordenadas inteiras, reparametrize t=2s, ficando (x,y,z)=s(-1,2,2). Portanto
N(U)=ker(U)=span(-1,2,2)

Passo 3

Para determinar Im(U), basta ver que as colunas da matriz de U (ou as imagens dos vetores padrão) geram o subespaço. Calculando
U(1,0,0)=(2,0), U(0,1,0)=(1,1), U(0,0,1)=(0,-1)
Vemos que (2,0) e (1,1) são linearmente independentes em R^2, o que já garante posto 2. Como dim(R^2)=2, segue
Im(U)=R^2

Passo 4

A matriz canônica [U] é a matriz cujas colunas são as coordenadas de U(e1), U(e2), U(e3) em relação à base-padrão. Logo,
[U]= 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1

Resposta

N(U)=span(-1,2,2)
Im(U)=R^2
[U]= 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1

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