QUESTÃO 6 (2,0 Pontos). Considere uma transformação linear
definida por
.
A. Obtenha
, núcleo da transformação
e
, a imagem da transformação
.
B. Obtenha
, a matriz canônica da transformação
.
A. Obtenha
B. Obtenha
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por
O que precisamos é (A) determinar o núcleo
e a imagem
e (B) escrever a matriz canônica
relativa às bases-padrão de
e
.
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
. Assim,
Da segunda equação segue
. Substituindo na primeira, temos
, ou seja,
. Logo, podemos tomar
como parâmetro, obtendo
Para ter coordenadas inteiras, reparametrize
, ficando
. Portanto
Passo 3
Para determinar
, basta ver que as colunas da matriz de
(ou as imagens dos vetores padrão) geram o subespaço. Calculando
Vemos que
e
são linearmente independentes em
, o que já garante posto
. Como
, segue
Passo 4
A matriz canônica
é a matriz cujas colunas são as coordenadas de
,
,
em relação à base-padrão. Logo,