Questão 3: (2,0 Pontos) Um sistema massa-mola é descrito pela seguinte equação diferencial de segunda ordem
onde
é a massa do sistema (em kg),
é a constante da mola (em N/m), t é o tempo (em s) e
é o deslocamento da massa em função do tempo (em m).
Se o sistema massa-mola tem massa de 1 kg e a constante da mola de
a EDO se transforma em
a) Determine a solução geral
.
b) Encontre a solução particular aplicando as condições iniciais
e
.
b) Encontre a solução particular aplicando as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a EDO
que é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usamos o método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico
cuja solução é
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral é da forma
Passo 3
Para a solução particular aplicamos as condições
e
. Primeiro, de
temos
portanto
. Em seguida, computamos
e de
vem
logo
.
Resposta
(a) Solução geral:
(b) Solução particular com
e
: