Questão 3: (2,0 Pontos) Um sistema massa-mola é descrito pela seguinte equação diferencial de segunda ordem
m d^2 x(t)d t^2+k x(t)=0
onde m é a massa do sistema (em kg), k é a constante da mola (em N/m), t é o tempo (em s) e x(t) é o deslocamento da massa em função do tempo (em m).
Se o sistema massa-mola tem massa de 1 kg e a constante da mola de 4 N / m a EDO se transforma em
x^prime prime+4 x=0
a) Determine a solução geral x(t).
b) Encontre a solução particular aplicando as condições iniciais x(0)=1 e x^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x'' + 4x = 0
que é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usamos o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
r^2 + 4 = 0
cuja solução é
r = pm 2i
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral é da forma
x(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Para a solução particular aplicamos as condições x(0)=1 e x'(0)=0. Primeiro, de x(0)=1 temos
x(0) = C1cos(0) + C2sin(0) = C1
portanto C1=1. Em seguida, computamos
x'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t)
e de x'(0)=0 vem
x'(0) = 2C2 = 0
logo C2=0.

Resposta

(a) Solução geral:
x(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)
(b) Solução particular com x(0)=1 e x'(0)=0:
x(t) = cos(2t)

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