Questão 5: (2,0 Pontos) Um tanque de mistura contém dois compartimentos conectados, onde a concentração de uma substância em cada compartimento é dada por x(t) e y(t), respectivamente. A transferência de substância entre os compartimentos segue as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
c x^prime=4 x-6 y y^prime=8 x-10 y
Calcule a solução geral do sistema usando o método dos autovalores.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem que descreve as concentrações x(t) e y(t) em dois compartimentos interconectados:
x' = 4x - 6y, y' = 8x -10y
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares homogêneos usando autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. Vamos reescrever o sistema em forma matricial e depois encontrar os autovalores e autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema como
Para encontrar os autovalores , calculamos o determinante :
Desenvolvendo,
Igualando a zero, obtemos o polinômio característico
]

Passo 3

Resolvendo lambda^2+6lambda+8=0, temos
lambda = -6pmraiz6^2-4cdot1cdot82 =-6pm22,
ou seja
lambda1=-2, lambda2=-4

Passo 4

Agora encontramos um autovetor associado a . Resolvemos
Da primeira linha vem . Podemos escolher

Passo 5

Para , resolvemos
Da equação obtemos , logo . Escolhendo , um autovetor conveniente é

Passo 6

Como temos dois autovalores reais e dois autovetores linearmente independentes, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
X(t) = C1 e^lambda1 t,v^(1) + C2 e^lambda2 t,v^(2),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

com constantes determinadas pelas condições iniciais.

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