Questão 5: (2,0 Pontos) Um tanque de mistura contém dois compartimentos conectados, onde a concentração de uma substância em cada compartimento é dada por
e
, respectivamente. A transferência de substância entre os compartimentos segue as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Calcule a solução geral do sistema usando o método dos autovalores.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem que descreve as concentrações
e
em dois compartimentos interconectados:
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares homogêneos usando autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. Vamos reescrever o sistema em forma matricial e depois encontrar os autovalores e autovetores para montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema como
Para encontrar os autovalores
, calculamos o determinante
:
Desenvolvendo,
Igualando a zero, obtemos o polinômio característico
Passo 3
Resolvendo
, temos
ou seja
Passo 4
Agora encontramos um autovetor associado a
. Resolvemos
Da primeira linha
vem
. Podemos escolher
Passo 5
Para
, resolvemos
Da equação
obtemos
, logo
. Escolhendo
, um autovetor conveniente é
Passo 6
Como temos dois autovalores reais e dois autovetores linearmente independentes, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
com
constantes determinadas pelas condições iniciais.