4. Questão 4 (2,0 pontos)

Em um sistema de transmissão óptica, a intensidade do sinal é dada por:
I(x, y)=1000-2 x^{2}-5 y^{2}
onde x e y representam posições transversais em milímetros.
(a) Determine o vetor gradiente de I no ponto A=(1,-1);
(b) Descreva a direção de maior aumento da intensidade no ponto A.

Passo 1

O enunciado apresenta a intensidade do sinal
I(x,y)=1000-2x^{2}-5y^{2}
e pede (a) o vetor gradiente de I em A=(1,-1) e (b) a direção de maior aumento em A. Vamos usar o conceito de gradiente em cálculo vetorial, pois \nabla I aponta para a direção de crescimento máximo da função.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial I}{\partial x} = -4x,
\frac{\partial I}{\partial y} = -10y.
Logo
\nabla I(x,y)=\bigl(-4x,\,-10y\bigr).

Passo 3

Avaliaremos \nabla I em A=(1,-1):
\nabla I(1,-1)=\bigl(-4\cdot1,\,-10\cdot(-1)\bigr)=(-4,10).

Passo 4

A direção de maior aumento em A é dada pela direção do vetor gradiente (-4,10). Para expressar como vetor unitário, fazemos
\|\nabla I(1,-1)\|=\sqrt{(-4)^{2}+10^{2}}=\sqrt{116},
portanto a direção unitária é
\frac{1}{\sqrt{116}}(-4,10).

Resposta

(a) \nabla I(1,-1)=(-4,10).
(b) A direção de maior aumento é ao longo de (-4,10), que normalizado fica \frac{1}{\sqrt{116}}(-4,10).

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