4. Questão 4 (2,0 pontos)
Em um sistema de transmissão óptica, a intensidade do sinal é dada por:
onde
e
representam posições transversais em milímetros.
(a) Determine o vetor gradiente de
no ponto
;
(b) Descreva a direção de maior aumento da intensidade no ponto
.
(a) Determine o vetor gradiente de
(b) Descreva a direção de maior aumento da intensidade no ponto
Passo 1
O enunciado apresenta a intensidade do sinal
e pede (a) o vetor gradiente de
em
e (b) a direção de maior aumento em
. Vamos usar o conceito de gradiente em cálculo vetorial, pois
aponta para a direção de crescimento máximo da função.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
.
Passo 3
Avaliaremos
em
:
Passo 4
A direção de maior aumento em
é dada pela direção do vetor gradiente
. Para expressar como vetor unitário, fazemos
portanto a direção unitária é
Resposta
(a)
.
(b) A direção de maior aumento é ao longo de , que normalizado fica
.
(b) A direção de maior aumento é ao longo de