Em uma placa de circuito para transmissão de sinais de micro-ondas, a distribuição de temperatura é dada por T(x, y)=900-x^{2}-2 y^{2}, onde T está em Kelvin e x, y estão em milímetros.
No ponto P=(1,2), determine:
(a) o vetor gradiente da temperatura;
(b) a derivada direcional de T na direção do vetor (-1,2);
(c) a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em P;
(d) a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em uma placa como
T(x,y)=900 - x^{2} - 2y^{2}
e pede, no ponto P=(1,2): (a) o gradiente; (b) a derivada direcional na direção de (-1,2); (c) a direção de maior aumento; (d) a taxa máxima de variação. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais, definir o vetor gradiente, normalizar vetores e aplicar
D_{\mathbf{u}}T = \nabla T\cdot \mathbf{u},
além de lembrar que a direção de maior crescimento é a do próprio gradiente e sua magnitude é a taxa máxima.