Questão 3 (2,0 pontos)
Em uma placa de circuito para transmissão de sinais de micro-ondas, a distribuição de temperatura é dada por T(x, y)=900-x^{2}-2 y^{2}, onde T está em Kelvin e x, y estão em milímetros.
No ponto P=(1,2), determine:
(a) o vetor gradiente da temperatura;
(b) a derivada direcional de T na direção do vetor (-1,2);
(c) a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em P;
(d) a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em uma placa como
T(x,y)=900 - x^{2} - 2y^{2}
e pede, no ponto P=(1,2): (a) o gradiente; (b) a derivada direcional na direção de (-1,2); (c) a direção de maior aumento; (d) a taxa máxima de variação. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais, definir o vetor gradiente, normalizar vetores e aplicar
D_{\mathbf{u}}T = \nabla T\cdot \mathbf{u},
além de lembrar que a direção de maior crescimento é a do próprio gradiente e sua magnitude é a taxa máxima.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de T:
\frac{\partial T}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = -4y.
Logo o vetor gradiente é
\nabla T(x,y) = \bigl(-2x,\,-4y\bigr).
No ponto P=(1,2) temos
\nabla T(1,2) = (-2\cdot1,\,-4\cdot2) = (-2,\,-8).

Passo 3

Para a derivada direcional na direção do vetor (-1,2) normalizamos esse vetor. Seu comprimento é
\|\langle -1,2\rangle\| = \sqrt{(-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}.
Então o vetor unitário é
\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}\langle -1,2\rangle = \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5},\,\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}T(1,2) = \nabla T(1,2)\cdot \mathbf{u} = (-2)\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr) + (-8)\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr) = \frac{2 - 16}{\sqrt5} = -\frac{14}{\sqrt5}.

Passo 4

A direção em que T aumenta mais rápido em P é a direção do gradiente \nabla T(1,2). Portanto o vetor direção é
\langle -2,\,-8\rangle
ou, se quisermos um vetor unitário,
\frac{1}{\sqrt{(-2)^{2}+(-8)^{2}}}\langle -2,-8\rangle = \frac{1}{\sqrt{68}}\langle -2,-8\rangle.

Passo 5

A taxa máxima de variação da temperatura em P é o módulo do gradiente naquele ponto:
\bigl\|\nabla T(1,2)\bigr\| = \sqrt{(-2)^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.

Resposta

(a) \nabla T(1,2)=(-2,-8).
(b) D_{\mathbf{u}}T(1,2)=-\tfrac{14}{\sqrt5}.
(c) direção de maior aumento: \langle -2,-8\rangle (ou o unitário \tfrac{1}{\sqrt{68}}\langle -2,-8\rangle).
(d) taxa máxima de variação: 2\sqrt{17}.

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