Ao ajustar o desempenho de um modulador digital, engenheiros de telecomunicações modelam a qualidade do sinal por meio da função
f(x, y)=x^{2}-4 x+y^{2}-2 y
onde x e y representam parâmetros de sintonia de fase e amplitude. Determine os pontos críticos da função e use o teste da segunda derivada para classificá-los como ponto de mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}-2y
e pede (a) encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambos os gradientes parciais são zero, e (b) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto crítico em mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4=0
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2=0
Resolvendo o sistema, vem
x=2, \quad y=1.
Logo há um único ponto crítico em (2,1).
Passo 3
Agora obtemos as segundas derivadas para montar a matriz Hessiana: