Questāo 2 ( 2,0 pontos)
Ao ajustar o desempenho de um modulador digital, engenheiros de telecomunicações modelam a qualidade do sinal por meio da função
f(x, y)=x^{2}-4 x+y^{2}-2 y
onde x e y representam parâmetros de sintonia de fase e amplitude. Determine os pontos críticos da função e use o teste da segunda derivada para classificá-los como ponto de mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}-2y
e pede (a) encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambos os gradientes parciais são zero, e (b) usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto crítico em mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4=0
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2=0
Resolvendo o sistema, vem
x=2, \quad y=1.
Logo há um único ponto crítico em (2,1).

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas para montar a matriz Hessiana:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2, \quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2, \quad f_{xy}=f_{yx}=0.
Assim a Hessiana é
H = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicamos o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis. Calculamos o determinante da Hessiana em (2,1):
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 2\cdot2 - 0^{2} = 4.
Como D>0 e f_{xx}=2>0, concluímos que f tem mínimo local em (2,1).

Resposta

O único ponto crítico é (2,1), e ele é um ponto de mínimo local.

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