Questão 4 (1,5 pontos) Sobre campos de uma distribuição contínua de carga e princípio de superposição:
1 Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga \lambda, de raio R e carga total 3 Q. O anel está posicionado no plano x y e seu centro está localizado no ponto (0,0,0). Mostre que o vetor campo elétrico em um ponto z que passa pelo seu eixo, é dado por:
\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{3 Q z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{k}
2 Agora, considere que posicionamos uma carga pontual, -2 Q, no ponto ( 0 ; 0 ; d ).
Determine o campo resultante no ponto P_{1}=(0 ; 0 ; 0) e no ponto P_{2}=(0 ; 0 ; 2 d).
(Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)

Passo 1

O enunciado trata de uma distribuição contínua de carga (um anel no plano xy com carga total 3Q) e de uma carga pontual -2Q em (0,0,d). Na parte 1, precisamos usar Coulomb e superposição contínua para derivar o campo de um anel carregado ao longo de seu eixo. Na parte 2, somamos vetorialmente o campo do anel com o campo da carga pontual nos pontos dados.

Passo 2

Parametrizamos o anel de raio R por um ângulo \varphi, de modo que um elemento de carga seja
dQ=\lambda\,R\,d\varphi,
com \lambda= \frac{3Q}{2\pi R}. Pelo princípio de superposição, o campo gerado por dQ em um ponto de coordenada (0,0,z) tem só componente z, pois as componentes transversais se cancelam por simetria. Pelo vetor que liga dQ a (0,0,z), a distância é \sqrt{R^2+z^2}. Então
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dQ\;z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Integramos \varphi de 0 a 2\pi, observando que dQ somado é 3Q. Logo
E_z = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\lambda\,R\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,d\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}.
O vetor campo fica
\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}\;\hat k.

Passo 4

Agora adicionamos a carga pontual -2Q em (0,0,d). Pelo princípio da superposição, o campo total é
\vec E_{\rm tot}(\vec r) = \vec E_{\rm anel}(\vec r) + \vec E_{\rm ponto}(\vec r).
Em cada ponto usamos a expressão do anel (com z trocado pela coordenada axial do ponto) e a expressão da carga pontual
\vec E_{\rm ponto} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{-2Q}{r^3}\,\vec r,
onde \vec r é o vetor do ponto (0,0,d) até o ponto de avaliação.

Passo 5

No ponto P_1=(0,0,0):
– O anel dá \vec E_{\rm anel}=0, pois z=0.
– A carga -2Q está em (0,0,d), de modo que o vetor de (0,0,d) a (0,0,0) é (0,0,-d). Logo
\vec E_{\rm ponto}(P_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{-2Q}{d^3}\,(0,0,-d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Q}{d^2}\,\hat k.
Portanto
\vec E_{\rm tot}(P_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Q}{d^2}\,\hat k.

Passo 6

No ponto P_2=(0,0,2d):
– O anel em z=2d gera
\vec E_{\rm anel}(P_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{3Q\,(2d)}{\bigl(R^2+(2d)^2\bigr)^{3/2}}\,\hat k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{6Q\,d}{\bigl(R^2+4d^2\bigr)^{3/2}}\,\hat k.
– A carga -2Q está a uma distância d abaixo de P_2, pois (0,0,2d)-(0,0,d)=(0,0,d). Assim
\vec E_{\rm ponto}(P_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{-2Q}{d^3}\,(0,0,d) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2Q}{d^2}\,\hat k.
Somando,
\vec E_{\rm tot}(P_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \biggl[ \frac{6Q\,d}{\bigl(R^2+4d^2\bigr)^{3/2}} \;-\; \frac{2Q}{d^2} \biggr]\hat k.

Resposta

\vec{E}_{\rm anel}(z)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{3Q\,z}{\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\hat{k}.
\vec E_{\rm tot}(P_{1})= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{2Q}{d^{2}}\;\hat{k}, \quad \vec E_{\rm tot}(P_{2})= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ \frac{6Q\,d}{\bigl(R^{2}+4d^{2}\bigr)^{3/2}} -\frac{2Q}{d^{2}} \Bigr]\hat{k}.

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