Questão 4 (1,5 pontos) Sobre campos de uma distribuição contínua de carga e princípio de superposição:
1 Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga
, de raio
e carga total
. O anel está posicionado no plano
e seu centro está localizado no ponto
. Mostre que o vetor campo elétrico em um ponto
que passa pelo seu eixo, é dado por:
2 Agora, considere que posicionamos uma carga pontual,
, no ponto (
).
Determine o campo resultante no ponto
e no ponto
.
(Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)
Determine o campo resultante no ponto
(Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)
Passo 1
O enunciado trata de uma distribuição contínua de carga (um anel no plano
com carga total
) e de uma carga pontual
em
. Na parte 1, precisamos usar Coulomb e superposição contínua para derivar o campo de um anel carregado ao longo de seu eixo. Na parte 2, somamos vetorialmente o campo do anel com o campo da carga pontual nos pontos dados.
Passo 2
Parametrizamos o anel de raio
por um ângulo
, de modo que um elemento de carga seja
com
. Pelo princípio de superposição, o campo gerado por
em um ponto de coordenada
tem só componente
, pois as componentes transversais se cancelam por simetria. Pelo vetor que liga
a
, a distância é
. Então
Passo 3
Integramos
de
a
, observando que
somado é
. Logo
O vetor campo fica
Passo 4
Agora adicionamos a carga pontual
em
. Pelo princípio da superposição, o campo total é
Em cada ponto usamos a expressão do anel (com
trocado pela coordenada axial do ponto) e a expressão da carga pontual
onde
é o vetor do ponto
até o ponto de avaliação.
Passo 5
No ponto
:
– O anel dá , pois
.
– A carga está em
, de modo que o vetor de
a
é
. Logo
– O anel dá
– A carga
Portanto
Passo 6
No ponto
:
– O anel em gera
– O anel em
– A carga
está a uma distância
abaixo de
, pois
. Assim
Somando,