Duas cargas pontuais q_{1}=+3 q e q_{2}=-2 q estão localizadas, respectivamente, nos pontos P_{1}=(0 ; 1,50 \mathrm{~cm}) e P_{2}=(0 ;-1,50 \mathrm{~cm}). Onde q=1,5 \mu C. Nestas condições, pede-se:
  1. (0.6) o vetor campo elétrico no ponto P_{3}=(0 ; 2,0 \mathrm{~cm});
  2. (0.6) o potencial elétrico na origem e no ponto P_{3}=(0 ; 2,0 \mathrm{~cm});
  3. (0.6) o trabalho realizado para trazer uma partícula q_{3}=+q do ponto P_{3} até a origem do sistema de coordenadas;
  4. (0.6) a força (vetor e módulo) que atua sobre uma partícula q_{3} colocada no ponto P_{3} ?
  5. (0.6) Determine a energia potencial da configuração para as três cargas localizadas, respectivamente, nos pontos P_{1}=(0 ; 1,50 \mathrm{~cm}), P_{2}=(0 ;-1,50 \mathrm{~cm}) e P_{3}=(0 ; 2,0 \mathrm{~cm}).

Passo 1

Temos duas cargas pontuais \,q_{1}=+3q e q_{2}=-2q em P_{1}=(0,\,0{,}015\;\mathrm{m}) e P_{2}=(0,\,-0{,}015\;\mathrm{m}), com q=1{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{C}. Vamos usar:
– Lei de Coulomb e princípio da superposição para o campo elétrico \vec E.
– Potencial elétrico escalar V=\displaystyle k\sum_i\frac{q_i}{r_i}.
– Trabalho de uma força conservativa W=q_3\,(V_{\rm f}-V_{\rm i}).
– Força sobre carga de prova \vec F=q_3\vec E.
– Energia potencial de um conjunto de cargas
U = k\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}.

Passo 2

Convertendo unidades e calculando distâncias ao ponto P_{3}=(0,\,0{,}020\;\mathrm{m}):
q_1=4{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{C},\quad q_2=-3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C},\quad q_3=+1{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{C},
r_{1,3}=|0{,}020-0{,}015|=0{,}005\;\mathrm{m},\quad r_{2,3}=|0{,}020-(-0{,}015)|=0{,}035\;\mathrm{m},
r_{1,0}=r_{2,0}=0{,}015\;\mathrm{m},\quad r_{1,2}=|0{,}015-(-0{,}015)|=0{,}030\;\mathrm{m}.
Constante de Coulomb k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 3

Campo em P_{3} pela superposição: como tudo está no eixo y, só há componente y.
E de q_{1}:
E_{1y} = k\,\frac{q_{1}}{r_{1,3}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{4{,}5\times10^{-6}}{(0{,}005)^{2}} =1{,}618\times10^{9}\;\mathrm{N/C} \quad(\uparrow).
E de q_{2}:
E_{2y} = k\,\frac{q_{2}}{r_{2,3}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{-3{,}0\times10^{-6}}{(0{,}035)^{2}} =-2{,}201\times10^{7}\;\mathrm{N/C} \quad(\downarrow).
Somando,
E_{y}=1{,}618\times10^{9}-2{,}201\times10^{7} =1{,}596\times10^{9}\;\mathrm{N/C}.
Logo
\vec E(P_{3}) = 0\,\hat\imath + 1{,}60\times10^{9}\,\hat\jmath \;\mathrm{N/C}.

Passo 4

Potencial na origem:
V(0) = k\Bigl(\frac{q_{1}}{r_{1,0}}+\frac{q_{2}}{r_{2,0}}\Bigr) =8{,}99\times10^{9}\,\frac{4{,}5-3{,}0}{0{,}015}\times10^{-6} =8{,}99\times10^{5}\;\mathrm{V}.
Potencial em P_{3}:
V(P_{3}) = k\Bigl(\frac{q_{1}}{r_{1,3}}+\frac{q_{2}}{r_{2,3}}\Bigr) =8{,}99\times10^{9}\Bigl(\frac{4{,}5\times10^{-6}}{0{,}005}+\frac{-3{,}0\times10^{-6}}{0{,}035}\Bigr) =7{,}32\times10^{6}\;\mathrm{V}.

Passo 5

Trabalho para trazer q_{3} de P_{3} até a origem:
W = q_{3}\,\bigl[V(0)-V(P_{3})\bigr] =1{,}5\times10^{-6}\,\bigl(8{,}99\times10^{5}-7{,}32\times10^{6}\bigr) =-9{,}63\;\mathrm{J}.

Passo 6

Força sobre q_{3} em P_{3}:
\vec F = q_{3}\,\vec E(P_{3}) =1{,}5\times10^{-6}\times(0\,\hat\imath+1{,}596\times10^{9}\,\hat\jmath) =0\,\hat\imath+2{,}39\times10^{3}\,\hat\jmath \;\mathrm{N}.
Módulo \displaystyle |\vec F|=2{,}39\times10^{3}\;\mathrm{N}.

Passo 7

Energia potencial da configuração (pares 1\!-\!2, 1\!-\!3, 2\!-\!3):
q_{1}q_{2}=-1{,}35\times10^{-11},\quad q_{1}q_{3}=6{,}75\times10^{-12},\quad q_{2}q_{3}=-4{,}50\times10^{-12}.
U = k\Bigl(\frac{q_{1}q_{2}}{r_{1,2}} + \frac{q_{1}q_{3}}{r_{1,3}} + \frac{q_{2}q_{3}}{r_{2,3}}\Bigr) =-4{,}05+12{,}13-1{,}16 =6{,}93\;\mathrm{J}.

Resposta

  1. \displaystyle \vec E(P_{3})=0\,\hat\imath+1{,}60\times10^{9}\,\hat\jmath\;\mathrm{N/C}.
  2. \displaystyle V(0)=8{,}99\times10^{5}\;\mathrm{V},\quad V(P_{3})=7{,}32\times10^{6}\;\mathrm{V}.
  3. \displaystyle W=-9{,}63\;\mathrm{J}.
  4. \displaystyle \vec F=0\,\hat\imath+2{,}39\times10^{3}\,\hat\jmath\;\mathrm{N},\quad|\vec F|=2{,}39\times10^{3}\;\mathrm{N}.
  5. \displaystyle U_{\rm total}=6{,}93\;\mathrm{J}.

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