Questão 3 (2,0 pontos)

Um sólido granular insolúvel é seco em uma bandeja com 45,7 \mathrm{~cm} \times 45,5 \mathrm{~cm} e profundidade de 25,4 \mathrm{~mm}. O material está isolado nas laterais e no fundo. A taxa de transferência de calor ocorre por convecção de uma corrente de ar escoando paralelamente à superfície do produto com uma velocidade de 6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ar de secagem encontrase a 65,5^{\circ} \mathrm{C} e possui uma umidade de 0,01 \mathrm{~kg} de água/kg de ar seco. Estime o fluxo de secagem [kg de água/(m².h)] e a vazão mássica de água removida do material [kg de água/h].
Dados: entalpia de vaporização da água =2433 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}; densidade do ar =1,038 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; 1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{~J} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do problema (peguei todos do enunciado):
    • Dimensões da bandeja: comprimento L_x=45{,}7\\ \mathrm{cm}=0{,}457\\ \mathrm{m} e largura L_y=45{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}455\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade da cama (não será necessária para o balanço de secagem pedido): 25{,}4\\ \mathrm{mm}.
    • Velocidade do ar paralelo à superfície: U=6{,}1\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura do ar de secagem (bulbo seco): T_{\text{db}}=65{,}5^\circ\mathrm{C}.
    • Umidade absoluta do ar (razão de mistura): Y_\infty=0{,}01\\ \mathrm{kg\; água/kg\; ar\\ seco}á.
    • Entalpia de vaporização da água: L_v=2433\\ \mathrm{kJ/kg}=2{,}433\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
    • Densidade do ar: \rho_{\text{ar}}=1{,}038\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Conversão de potência: 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}.
  • O enunciado pede:
    1. Estimar o fluxo de secagem (taxa de água removida por área): \text{fluxo} \\ [\mathrm{kg\; água/(m^2\cdot h)}]á.
    2. Estimar a vazão mássica de água removida da bandeja inteira: [\mathrm{kg\; água/h}]á.
Observação: não foram fornecidas propriedades detalhadas do ar nem coeficiente convectivo. Vou estimar o coeficiente convectivo usando correlações de convecção forçada sobre placa plana e usar propriedades típicas do ar à temperatura intermediária (filme). Também vou estimar a temperatura da superfície do produto pela temperatura de bulbo úmido (adiabatic saturation), pois a evaporação ocorre a partir de uma superfície úmida cuja temperatura aproxima-se do bulbo úmido. Todas essas hipóteses e valores típicos serão explicitados nos passos seguintes.

Passo 2

Plano de resolução (passo a passo do raciocínio físico):
  • A evaporação consome calor latente L_v. A energia fornecida pela convecção do ar para a superfície do produto (fluxo de calor convectivo) fornece, em regime, a energia para evaporar a água: \dot{q}'' = h\,(T_{\text{ar}}-T_{\text{s}}), onde h é o coeficiente convectivo de calor e T_{\text{s}} é a temperatura da superfície (aproximada pelo bulbo úmido T_w).
  • A partir do fluxo de calor superficial \dot{q}'' obtemos o fluxo mássico superficial de água evaporada: \dot{m}'' = \dfrac{\dot{q}''}{L_v}.
  • Converter \dot{m}'' para \mathrm{kg/(m^2\cdot h)} e multiplicar pela área da bandeja para obter a vazão total \mathrm{kg/h}.
  • Para obter h uso correlação de convecção forçada para placa plana turbulenta: \mathrm{Nu}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}, com \mathrm{Nu}_L=hL/k. Escolho L como o comprimento na direção do escoamento L=0{,}457\\ \mathrm{m}.
  • Para T_{\text{s}} \approx T_w obtém-se T_w resolvendo o balanço de entalpia da saturação adiabática (adiabatic saturation): entalpia do ar seco de entrada = entalpia do ar saturado a T_w. Isso requer uma expressão de p_{sat}(T) (uso a fórmula de Tetens para p_{sat} em kPa) e capacidades caloríficas típicas do ar.
Vou agora executar esses passos com contas detalhadas.

Passo 3

Estimativa do coeficiente convectivo h (propriedades do ar e correlações).
  • Propriedades típicas do ar à temperatura de filme \approx (T_{\text{db}}+T_w)/2. Como ainda não calculei T_w exatamente, uso valores típicos médios para ar entre 30–65°C:
    • Condutividade térmica do ar: k\approx0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Prandtl: \mathrm{Pr}\approx0{,}71.
    • Viscosidade cinemática: \nu\approx2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Número de Reynolds com comprimento L=0{,}457\\ \mathrm{m}:
    \mathrm{Re}_L=\dfrac{U L}{\nu}=\dfrac{6{,}1\cdot0{,}457}{2{,}4\times10^{-5}}.
    Calculemos:
    U L = 6{,}1\cdot0{,}457 = 2{,}7877\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_L = \dfrac{2{,}7877}{2{,}4\times10^{-5}} \approx 1{,}16\times10^{5}.
  • Use a correlação de Sieder–Tate/turbulenta (forma empírica): \mathrm{Nu}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.Calcule \mathrm{Re}_L^{4/5} e \mathrm{Pr}^{1/3}: \mathrm{Re}_L^{4/5}\approx(1{,}16\times10^{5})^{0{,}8}\approx1{,}126\times10^{4},
\mathrm{Pr}^{1/3}\approx0{,}71^{1/3}\approx0{,}887.
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\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}037\cdot1{,}126\times10^{4}\cdot0{,}887 \approx 3{,}696\times10^{2}.
  • Coeficiente convectivo h: h=\dfrac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}=\dfrac{369{,}6\cdot0{,}028}{0{,}457}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
h \approx \dfrac{10{,}349}{0{,}457}\approx22{,}65\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Comentário didático curto: a correlação dá uma estimativa de h para escoamento forçado sobre uma placa; h mede quanta potência por metro quadrado e por grau de diferença de temperatura é transferida do ar para a superfície.

Passo 4

Determinar a temperatura da superfície T_{\text{s}} aproximada pelo bulbo úmido T_w (adiabatic saturation). Vou calcular T_w resolvendo o balanço de entalpia por kg de ar seco.
  • Primeiro obtenho a pressão parcial atual do vapor no ar p_v a partir da razão de mistura Y_\infty=0{,}01. Relação:
    Y=\dfrac{0{,}622\,p_v}{P - p_v}\quad\Rightarrow\quad p_v=\dfrac{P\,Y}{0{,}622+Y}.
    Tomando P=101{,}3\\ \mathrm{kPa},
    p_v=\dfrac{101{,}3\cdot0{,}01}{0{,}622+0{,}01}=\dfrac{1{,}013}{0{,}632}\approx1{,}603\\ \mathrm{kPa}.
  • Energia por kg de ar seco na entrada (entalpia total por kg de ar seco), usando c_{p,\text{ar}}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_{p,\text{vapor}}\approx1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
    h_{\text{in}} = c_{p,\text{ar}}\,T_{\text{db}} + Y_\infty\bigl(L_v + c_{p,\text{vapor}}\,T_{\text{db}}\bigr)
    (tudo em \mathrm{kJ/kg}, com L_v em \mathrm{kJ/kg}).
    Substituindo:
    h_{\text{in}} = 1{,}005\cdot65{,}5 + 0{,}01\bigl(2433 + 1{,}86\cdot65{,}5\bigr).
    Calculei:
    1{,}005\cdot65{,}5 =65{,}8275,
1{,}86\cdot65{,}5=121{,}83,\quad 2433+121{,}83=2554{,}83,
0{,}01\cdot2554{,}83=25{,}5483,
h_{\text{in}}\approx65{,}8275+25{,}5483=91{,}3758\\ \mathrm{kJ/kg\; ar\\ seco}.
  • Após saturação adiabática a temperatura T_w, o ar fica com razão de mistura de saturação Y_s(T_w) e entalpia
    h_{\text{out}} = c_{p,\text{ar}}\,T_w + Y_s(T_w)\bigl(L_v + c_{p,\text{vapor}}\,T_w\bigr).
    A condição adiabática é h_{\text{out}}=h_{\text{in}}. Para obter Y_s(T_w) preciso da pressão de saturação p_{sat}(T_w). Uso a fórmula de Tetens (válida para a faixa de interesse):
    p_{sat}(T^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\exp\!\Bigl(\dfrac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\Bigr)\\ \mathrm{kPa}.
    Em seguida
    Y_s(T_w)=\dfrac{0{,}622\,p_{sat}(T_w)}{P - p_{sat}(T_w)}.
  • Resolvo numericamente (iteração simples) h_{\text{out}}(T_w)=h_{\text{in}}. Testando valores, obtive:
    • T_w\approx28{,}7^\circ\mathrm{C} h_{\text{out}}\approx91{,}32\\ \mathrm{kJ/kg}, muito próximo de h_{\text{in}}=91{,}376\\ \mathrm{kJ/kg}. Portanto adoto
    T_w \approx 28{,}7^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático curto: o bulbo úmido é a temperatura que uma superfície molhada atingiria ao evaporar água sem troca de calor com o meio (adiabaticamente) — é o valor que fixa o balanço de entalpia entre ar seco quente e ar saturado mais frio.

Passo 5

Cálculo do fluxo de calor convectivo e da taxa de secagem superficial.
  • Diferença de temperatura entre ar e superfície:
    \Delta T = T_{\text{db}}-T_w = 65{,}5-28{,}7=36{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Fluxo de calor convectivo por área:
    \dot{q}'' = h\,\Delta T = 22{,}65\cdot36{,}8 \approx 834{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.
    (ou 834{,}0\\ \mathrm{J/(s\cdot m^2)}).
  • Fluxo mássico superficial de água evaporada:
    \dot{m}'' = \dfrac{\dot{q}''}{L_v} = \dfrac{834{,}0}{2{,}433\times10^{6}}\\ \mathrm{kg/(s\cdot m^2)}.
\dot{m}'' \approx 3{,}429\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(s\cdot m^2)}.
  • Converter para \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}: \dot{m}''_{\text{(h)}} = 3{,}429\times10^{-4}\cdot3600 \approx 1{,}234\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}.
Então o fluxo de secagem estimado é \approx1{,}23\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}.

Passo 6

Cálculo da vazão mássica total de água removida da bandeja.
  • Área da bandeja:
    A = L_x\cdot L_y = 0{,}457\cdot0{,}455 = 0{,}207935\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão mássica total de água removida por hora:
    \dot{M}_{\text{água}} = \dot{m}''_{\text{(h)}}\cdot A = 1{,}234\cdot0{,}207935 \approx 0{,}2566\\ \mathrm{kg/h}.á
Arredondando a uma cifra apropriada, \dot{M}_{\text{água}}\approx0{,}257\\ \mathrm{kg/h}á.

Passo 7

Resumo das hipóteses principais (importante para a prova / justificativa):
  • Usei correlação empírica para convecção forçada sobre placa plana e propriedades típicas do ar ( k,\nu,\mathrm{Pr}) à temperatura de filme — isso dá uma estimativa razoável de h.
  • Assumi que a superfície úmida está à temperatura de bulbo úmido ( T_w) obtida por adiabatic saturation (sem troca de calor além da convecção do ar).
  • Assumi que toda a potência convectiva recebida é usada para vaporizar água (fluxo de calor convectivo → calor latente). Não considerei aquecimento do sólido (pequeno erro se produto tiver grande calor específico ou estiver longe do equilíbrio), nem perdas por radiação.
  • Estas hipóteses são típicas para estimativas rápidas e para questões de prova — discutam-se efeitos mais detalhados se for necessário maior precisão.

Resposta

1{,}23\\ \mathrm{kg/(m^{2}\cdot h)}\n
0{,}257\\ \mathrm{kg/h}

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