Questão 1 ( 3,5 pontos) - Suponha que a chance de um homem acima dos 50 anos desenvolver um tumor maligno de próstata é de
, o qual pode ser detectado pela mensuração do valor do marcador PSA no exame de sangue. Suponha também que a chance de um exame PSA apontar de forma equivocada a existência de um tumor maligno (i.e., dar resultado positivo quando não há tumor maligno) é de
. Por outro lado, quando existir um tumor maligno, ele será detectado
das vezes. Um homem de 60 anos recebe um resultado positivo de tumor maligno oriundo de um exame de PSA. Com base nestes dados, a maior possibilidade é dele estar ou não com um tumor maligno? Calcule as probabilidades associadas.
Passo 1
O enunciado fala de um homem com mais de 50 anos em que
– a probabilidade de ter tumor maligno de próstata é de ,
– se não há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de ,
– se há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de .
Ele obteve um resultado “positivo” e a pergunta é: qual a probabilidade de ele realmente ter o tumor? Usaremos o teorema de Bayes para calcular e
.
– a probabilidade de ter tumor maligno de próstata é de
– se não há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de
– se há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de
Ele obteve um resultado “positivo” e a pergunta é: qual a probabilidade de ele realmente ter o tumor? Usaremos o teorema de Bayes para calcular
Passo 2
Definimos os eventos:
= “há tumor maligno”
= “não há tumor maligno”
= “exame PSA dá positivo”
As probabilidades dadas são
Passo 3
Pelo teorema de Bayes,
Substituindo os valores:
Passo 4
A probabilidade de não haver tumor dado o exame positivo é
Resposta
A maior possibilidade é não ter tumor maligno (
) em vez de ter (
).