Questão 1 ( 3,5 pontos) - Suponha que a chance de um homem acima dos 50 anos desenvolver um tumor maligno de próstata é de 2 %, o qual pode ser detectado pela mensuração do valor do marcador PSA no exame de sangue. Suponha também que a chance de um exame PSA apontar de forma equivocada a existência de um tumor maligno (i.e., dar resultado positivo quando não há tumor maligno) é de 15 %. Por outro lado, quando existir um tumor maligno, ele será detectado 80 % das vezes. Um homem de 60 anos recebe um resultado positivo de tumor maligno oriundo de um exame de PSA. Com base nestes dados, a maior possibilidade é dele estar ou não com um tumor maligno? Calcule as probabilidades associadas.

Passo 1

O enunciado fala de um homem com mais de 50 anos em que
– a probabilidade de ter tumor maligno de próstata é de 2%,
– se não há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de 15%,
– se há tumor, o exame PSA dá “positivo” com probabilidade de 80%.
Ele obteve um resultado “positivo” e a pergunta é: qual a probabilidade de ele realmente ter o tumor? Usaremos o teorema de Bayes para calcular P(Tmid +) e P(T^cmid +).

Passo 2

Definimos os eventos:
T = “há tumor maligno”
,T^c = “não há tumor maligno”
+ = “exame PSA dá positivo”
As probabilidades dadas são
P(T)=0,02, P(T^c)=1-0,02=0,98,
P(+mid T)=0,80, P(+mid T^c)=0,15

Passo 3

Pelo teorema de Bayes,
P(Tmid +) = P(+mid T),P(T)P(+mid T),P(T)+P(+mid T^c),P(T^c)
Substituindo os valores:
P(Tmid +) = 0,80cdot 0,020,80cdot 0,02 + 0,15cdot 0,98 = 0,0160,016 + 0,147 = 0,0160,163 approx 0,098

Passo 4

A probabilidade de não haver tumor dado o exame positivo é
P(T^cmid +)=1-P(Tmid +)approx 1-0,098=0,902

Resposta

A maior possibilidade é não ter tumor maligno ( 90,2%) em vez de ter ( 9,8%).

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