Questão 3 ( 3,0 pontos) - Seja a variável aleatória X, definida como:
Calcular:
f(x)=l 8 x+4, para 0 <= x <= b 0, caso contrário á
(d) o(s) valor(es) de b que tornam X, assim definida, de fato uma v.a.
(e) a probabilidade do evento X=1 / 10
(f) a probabilidade do evento 0 <= X <= 1 / 10

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua
Pedem:
(d) o(s) valor(es) de ser de fato uma densidade;
(e) ;
(f) .
Vamos usar a condição de normalização de densidade contínua, a propriedade de que pontos têm probabilidade zero, e cálculo de integrais.

Passo 2

Para que f seja uma densidade, precisamos ter
integral-infty^inftyf(x),dx=integral0^b(8x+4),dx=1
Calculemos a integral:
integral0^b(8x+4),dx =l[4x^2+4xr]0^b =4b^2+4b
Logo a condição de normalização é
4b^2+4b=1,
ou seja
4b^2+4b-1=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
4b^2+4b-1=0
pelo discriminante, temos
b=-4pmraiz4^2-4cdot4cdot(-1)2cdot4 =-4pmraiz16+168 =-4pm4raiz28 =-1pmraiz22
Como a densidade só faz sentido para b>=0, fica
b=-1+raiz22

Passo 4

Para uma variável contínua, qualquer ponto isolado tem probabilidade zero. Assim, mesmo que 1/10 esteja no suporte (pois tfrac-1+raiz22approx0,207>0,1), vale
Prl(X=tfrac110r)=0

Passo 5

Para calcular
Pr(0<= X<=1/10), integramos a densidade de 0 a 1/10:
Pr(0<= X<=tfrac110) =integral0^1/10(8x+4),dx =l[4x^2+4xr]0^1/10 =4l(tfrac110r)^2+4l(tfrac110r) = tfrac4100+tfrac410 =0,04+0,4 =0,44 =tfrac1125

Resposta

(d) b=dfrac-1+raiz22
(e) Pr(X=1/10)=0
(f) Pr(0<= X<=1/10)=dfrac1125

Exercícios relacionados