Questão 3 ( 3,0 pontos) - Seja a variável aleatória X, definida como:
Calcular:
(d) o(s) valor(es) de b que tornam
, assim definida, de fato uma v.a.
(e) a probabilidade do evento
(f) a probabilidade do evento
(e) a probabilidade do evento
(f) a probabilidade do evento
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória contínua
Pedem:
(d) o(s) valor(es) de ser de fato uma densidade;
(d) o(s) valor(es) de ser de fato uma densidade;
(e)
;
(f) .
Vamos usar a condição de normalização de densidade contínua, a propriedade de que pontos têm probabilidade zero, e cálculo de integrais.
(f)
Vamos usar a condição de normalização de densidade contínua, a propriedade de que pontos têm probabilidade zero, e cálculo de integrais.
Passo 2
Para que
seja uma densidade, precisamos ter
Calculemos a integral:
Logo a condição de normalização é
ou seja
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
pelo discriminante, temos
Como a densidade só faz sentido para
, fica
Passo 4
Para uma variável contínua, qualquer ponto isolado tem probabilidade zero. Assim, mesmo que
esteja no suporte (pois
), vale
Passo 5
Para calcular
, integramos a densidade de
a
:
Resposta
(d)
(e)
(f)
(e)
(f)