Resolva, utilizando autovalores e autovetores, os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
utilizando autovalores e autovetores. O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos escrever o sistema na forma matricial
e depois encontrar os autovalores
e autovetores
de
.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial,
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
Passo 3
Calculando o determinante,
Igualando a zero,
logo os autovalores são
e
.
Passo 4
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha vem
, então podemos escolher
Passo 5
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha vem
, ou seja
. Podemos escolher
Passo 6
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
Em componentes,
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
ou equivalentemente