Questão ( 2,0 pontos)- Suponha que um gás ideal a 400 K e 250 kPa esteja enclausurado num cilindro por um pistão sem atrito, e que o gás force lentamente o pistão, tal que o volume de gás se expanda de 0,1 para 0,3 \mathrm{~m}^{3}. Calcule o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão (que é a única parte da fronteira das vizinhanças que se move) se duas trajetórias diferentes forem tomadas para ir do estado inicial para o estado final:
Caminho B: a expansão ocorre à temperatura constante ( \mathrm{T}=400 \mathrm{~K} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Estado inicial:
    • Temperatura \,T_1 = 400\\ \mathrm{K}.
    • Pressão \,p_1 = 250\\ \mathrm{kPa} = 250\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
    • Volume inicial \,V_1 = 0{,}1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Estado final:
    • Volume final \,V_2 = 0{,}3\\ \mathrm{m}^{3}.
  • O processo considerado (Caminho B) é uma expansão isotérmica lenta a \,T=400\\ \mathrm{K} (ou seja, processo quase-estático e isotérmico).
  • O que se pede: calcular o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão (trabalho realizado pelo gás) ao ir de \,V_1 para \,V_2 por essa trajetória.

Passo 2

Relembrando o que é trabalho em processos quasiestáticos (explicação didática).
  • Quando uma fronteira móvel (pistão) se desloca lentamente, a pressão do gás acompanha a pressão externa e o trabalho infinitesimal realizado pelo gás sobre o pistão é
\delta W = p\,dV,
onde p é a pressão do gás naquele instante e dV a variação infinitesimal do volume.
  • O trabalho total do gás ao expandir de V_1 para V_2 é a integral
W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV.
  • Observação importante: aqui W é o trabalho feito pelo gás sobre o meio externo; para expansão W>0.

Passo 3

Usar a lei do gás ideal no processo isotérmico e montar a integral (aula rápida).
  • Para um gás ideal numa transformação isotérmica (temperatura constante \,T), a lei do gás ideal vale
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (constante aqui).
  • Isolando p obtemos p(V)=\dfrac{nRT}{V}.
  • Substituindo na integral do trabalho:
W=\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,dV.
  • A integral de 1/V é o logaritmo natural, logo
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Explicação do logaritmo: \ln é a função inversa da exponencial; \ln(V_2/V_1) mede a “razão” multiplicativa entre volumes numa escala logarítmica — matematicamente vem diretamente da primitiva de 1/V.

Passo 4

Eliminar n usando as condições iniciais para obter uma expressão prática (dica de prova: evitar calcular n separadamente).
  • Como o processo é isotérmico, nRT = p_1 V_1 (pois p_1V_1=nRT).
  • Assim podemos escrever o trabalho sem precisar de n nem de R:
W = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Esta forma é prática em provas: basta calcular p_1V_1 e multiplicar pelo \ln da razão dos volumes.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas).
  • Calcular p_1V_1:
p_1V_1 = \left(250\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(0{,}1\\ \mathrm{m}^{3}\right) = 25000\\ \mathrm{J}.
(A unidade \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3} é equivalente a joule.)
  • Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}3}{0{,}1}\right)=\ln(3)\approx 1{,}098612289.
  • Multiplicando:
W = 25000\times 1{,}098612289 \approx 27465{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de forma prática para a quantidade de algarismos significativos adequada (dados fornecidos têm cerca de 2–3 algarismos significativos), pode-se escrever
W \approx 2{,}75\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação final rápida: esse é o trabalho que o gás realiza sobre o pistão durante a expansão isotérmica; é positivo porque o volume aumentou.

Resposta

W \approx 2{,}75\times10^{4}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados