Questão ( 2,0 pontos)- Suponha que um gás ideal a 400 K e 250 kPa esteja enclausurado num cilindro por um pistão sem atrito, e que o gás force lentamente o pistão, tal que o volume de gás se expanda de 0,1 para
. Calcule o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão (que é a única parte da fronteira das vizinhanças que se move) se duas trajetórias diferentes forem tomadas para ir do estado inicial para o estado final:
Caminho B: a expansão ocorre à temperatura constante (
)
Caminho B: a expansão ocorre à temperatura constante (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Estado inicial:
- Temperatura
. - Pressão
. - Volume inicial
.
- Temperatura
- Estado final:
- Volume final
.
- Volume final
- O processo considerado (Caminho B) é uma expansão isotérmica lenta a
(ou seja, processo quase-estático e isotérmico). - O que se pede: calcular o trabalho exercido pelo gás sobre o pistão (trabalho realizado pelo gás) ao ir de
para por essa trajetória.
Passo 2
Relembrando o que é trabalho em processos quasiestáticos (explicação didática).
- Quando uma fronteira móvel (pistão) se desloca lentamente, a pressão do gás acompanha a pressão externa e o trabalho infinitesimal realizado pelo gás sobre o pistão é
onde
é a pressão do gás naquele instante e
a variação infinitesimal do volume.
- O trabalho total do gás ao expandir de
para é a integral
- Observação importante: aqui
é o trabalho feito pelo gás sobre o meio externo; para expansão .
Passo 3
Usar a lei do gás ideal no processo isotérmico e montar a integral (aula rápida).
- Para um gás ideal numa transformação isotérmica (temperatura constante
), a lei do gás ideal vale
onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume, -
é o número de mols do gás, -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (constante aqui). - Isolando
obtemos . - Substituindo na integral do trabalho:
- A integral de
é o logaritmo natural, logo
- Explicação do logaritmo:
é a função inversa da exponencial; mede a “razão” multiplicativa entre volumes numa escala logarítmica — matematicamente vem diretamente da primitiva de .
Passo 4
Eliminar
usando as condições iniciais para obter uma expressão prática (dica de prova: evitar calcular
separadamente).
- Como o processo é isotérmico,
(pois ). - Assim podemos escrever o trabalho sem precisar de
nem de :
- Esta forma é prática em provas: basta calcular
e multiplicar pelo da razão dos volumes.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas).
- Calcular
:
(A unidade
é equivalente a joule.)
- Calcular o logaritmo:
- Multiplicando:
- Arredondando de forma prática para a quantidade de algarismos significativos adequada (dados fornecidos têm cerca de 2–3 algarismos significativos), pode-se escrever
- Interpretação final rápida: esse é o trabalho que o gás realiza sobre o pistão durante a expansão isotérmica; é positivo porque o volume aumentou.