Questão 4: (2,0 pontos) Um teste computadorizado de atenção sustentada apresenta 20 estímulos, cada um com probabilidade p=0,85 de resposta correta por parte de um paciente com TDAH em tratamento.
  1. Qual a probabilidade de o paciente acertar exatamente 18 estímulos?
  2. Qual a probabilidade de acertar pelo menos 18 estímulos?

Passo 1

O enunciado diz que o número de acertos X em 20 estímulos segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,85. Vamos usar a fórmula
P(X = k) \;=\; \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}
para calcular (1) P(X=18) e depois somar os termos para (2) P(X\ge18).

Passo 2

Queremos
P(X=18) \;=\;\binom{20}{18}\,(0,85)^{18}\,(0,15)^{2}.
Aqui \binom{20}{18}=190. Calculando passo a passo:
(0,85)^{18}\approx0,0537, \quad (0,15)^{2}=0,0225,
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P(X=18)\approx190\times0,0537\times0,0225\approx0,2296.

Passo 3

Para obter P(X\ge18) somamos P(X=18)+P(X=19)+P(X=20):
  • P(X=19)=\binom{20}{19}(0,85)^{19}(0,15)^{1} =20\times(0,85)^{19}\times0,15\approx0,1369.
  • P(X=20)=\binom{20}{20}(0,85)^{20}(0,15)^{0} =1\times(0,85)^{20}\approx0,0388.
Somando,
P(X\ge18)\approx0,2296+0,1369+0,0388\approx0,4053.

Resposta

P(X=18)\approx0,2296
P(X\ge18)\approx0,4053

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