Questão 4 (2 pontos). O teste da segunda derivada pode ser aplicado para encontrar máximos e mínimos globais? Considere a função:
Determine seus extremos locais e discuta se são globais.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada (conteúdo de análise de funções reais de uma variável) na função
para encontrar os pontos críticos, classificá-los em máximos ou mínimos locais e discutir se esses extremos são globais.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos.
A derivada de é
A derivada de
Para achar os críticos, resolvemos
:
pois
para todo
.
Passo 3
Aplicar o teste da segunda derivada em
.
A derivada segunda é
A derivada segunda é
Em
temos
logo
é ponto de máximo local.
Passo 4
Discutir se esse máximo local é global e se há mínimos.
- Para todo
, . Portanto o máximo em é também máximo global. - À medida que
, , mas nunca atinge zero. Isso significa que não existe mínimo local nem mínimo global, embora .
Resposta
O único extremo local de
é um máximo em
, com valor
. Esse máximo é também global. Não há mínimo local nem global (a função tende a
em
sem alcançá-lo).