Questão 4 (2 pontos). O teste da segunda derivada pode ser aplicado para encontrar máximos e mínimos globais? Considere a função:
p(x)=e^-x^2
Determine seus extremos locais e discuta se são globais.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada (conteúdo de análise de funções reais de uma variável) na função
p(x)=e^-x^2
para encontrar os pontos críticos, classificá-los em máximos ou mínimos locais e discutir se esses extremos são globais.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos.
A derivada de p é
p'(x)=ddxl(e^-x^2r) =e^-x^2cdotl(-2xr) =-2x,e^-x^2
Para achar os críticos, resolvemos p'(x)=0:
-2x,e^-x^2=0 Longrightarrow x=0,
pois e^-x^2>0 para todo x.

Passo 3

Aplicar o teste da segunda derivada em x=0.
A derivada segunda é
p''(x) =ddxl(-2x,e^-x^2r) =-2,e^-x^2+(-2x)cdotl(-2x,e^-x^2r) =-2e^-x^2+4x^2e^-x^2 =e^-x^2l(-2+4x^2r)
Em x=0 temos
p''(0)=e^0l(-2+0r)=-2<0,
logo x=0 é ponto de máximo local.

Passo 4

Discutir se esse máximo local é global e se há mínimos.
  1. Para todo x, p(x)=e^-x^2<=1=p(0). Portanto o máximo em x=0 é também máximo global.
  2. À medida que xtopminfty, p(x)to0, mas p(x) nunca atinge zero. Isso significa que não existe mínimo local nem mínimo global, embora infxinRp(x)=0.

Resposta

O único extremo local de p(x) é um máximo em x=0, com valor p(0)=1. Esse máximo é também global. Não há mínimo local nem global (a função tende a 0 em pminfty sem alcançá-lo).

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