Questão 3 (2 pontos). Um triângulo A B C tem vértices A=(0,0,0), B=(raiz32, 0, k), C=(raiz24, raiz22, raiz64), em que k é um número real não nulo, no sistema O x y z.
a) Determine k sabendo que o triângulo A B C é retângulo em A - ou seja, a medida de A é 90^circ.
b) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

Temos o triângulo com vértices
A=(0,0,0), B=l(tfracraiz32,0,kr), C=l(tfracraiz24,tfracraiz22,tfracraiz64r),
e o enunciado nos pede:
  1. Encontrar k de modo que o ângulo em A seja 90^circ. Para isso vamos usar produto escalar ( ABcdotAC=0).
  2. Calcular a área do triângulo, usando o módulo do produto vetorial tfrac12llVertABtimesACrrVert.

Passo 2

Calculemos os vetores a partir de A:
AB = B - A = l(tfracraiz32,,0,,kr), AC = C - A = l(tfracraiz24,,tfracraiz22,,tfracraiz64r)
Para que o ângulo em A seja reto, exigimos
ABcdotAC = tfracraiz32cdottfracraiz24 + 0cdottfracraiz22 + kcdottfracraiz64 = 0
Isso dá
tfracraiz68 + tfracraiz64,k = 0 ;Longrightarrow; tfrac18 + tfrack4 = 0 ;Longrightarrow; k = -tfrac12

Passo 3

Agora com k=-tfrac12, os vetores ficam
AB = l(tfracraiz32,0,-tfrac12r), AC = l(tfracraiz24,tfracraiz22,tfracraiz64r)
O produto vetorial é dado pelo determinante
ABtimesAC = i & j & k tfracraiz32 & 0 & -tfrac12 tfracraiz24 & tfracraiz22 & tfracraiz64 =l(tfracraiz24,,-tfracraiz22,,tfracraiz64r)
O módulo desse vetor é
llVertABtimesACrrVert =raizl(tfracraiz24r)^2+l(-tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz64r)^2 =raiztfrac216+tfrac24+tfrac616 =raiz1 =1
Logo a área do triângulo é
Área = tfrac12 times 1 = tfrac12 Á

Resposta

k = -tfrac12
Área = tfrac12.

Exercícios relacionados